الف) تاریخچه:
ایده ی نمایش یک تابع برحسب مجموعه ی کاملی از توابع اولین بار توسط ژوزف فوریه، ریاضیدان و فیزیکدان بین سال های ۱۸۰۶-۱۸۰۲ طی رساله ای در آکادمی علوم راجع به انتشار حرارت، برای نمایش توابع بکار گرفته شد. در واقع برای آنکه یک تابعf(x)  به شیوه ای ساده و فشرده نمایش داده شود فوریه اساسا ثابت کرد که می توان از محور هایی استفاده کرد که بکمک مجموعه ایی نامتناهی از توابع سینوس وار ساخته می شوند. بعبارت دیگر فوریه نشان داد که یک تابع f(x) را می توان بوسیله ی حاصل جمع بی نهایت تابع سینوسی و کسینوسی به شکل sin(ax) و cos(ax) نمایش داد. پایه های فوریه بصورت ابزار هایی اساسی، با کاربردهای فوق العاده متواتر در علوم، در آمده اند، زیرا برای نمایش انواع متعددی از توابع و در نتیجه کمین های فیزیکی فراوان بکار می روند. با گذشت زمان ضعف پایه های فوریه نمایان شد مثلا دانشمندان پی بردند پایه های فوریه و نمایش توابع سینوس وار در مورد سیگنال های پیچیده نظری تصاویر، نه تنها ایده آل نیستند بلکه از شرایط مطلوب دورند، بعنوان مثال به شکل کارآمدی قادر به نمایش ساختارهای گذرا نظیر مرزهای موجود در تصاویر نیستند. همچین آنها متوجه شدند تبدیل فوریه فقط برای توابع پایه مورد استفاده قرار می گیرد و برای توابع غیر پایه کار آمد نیست.(البته در سال ۱۹۴۶ با استفاده از توابع پنجره ای، که منجر به تبدیل فوریه ی پنجره ای شداین مشکل حل شد.)
در سال ۱۹۰۹ هار اولین کسی بود که به موجک ها اشاره کرد. در سال های ۱۹۳۰ ریاضیدانان به قصد تحلیل ساختارهای تکین موضوعی به فکر اصلاح پایه های فوریه افتادند. و بعد از آن در سال ۱۹۷۰ یک ژئوفیزیکدان فرانسوی به نام ژان مورله  متوجه شد که پایه های فوریه بهترین ابزار ممکن در اکتشافات زیر زمین نیستند، این موضوع در آزمایشگاهی متعلق به الف آکیلن منجر به یکی از اکتشافات تبدیل به موجک ها گردید.
در سال ۱۹۸۰ ایومیر ریاضیدان فرانسوی، نخستین پایه های موجکی متعامد را کشف کرد(تعامد نوعی از ویژگی ها را بیان می کند که موجب تسهیلات فراوانی در استدلال و محاسبه می شود، پایه های فوریه نیز متعامدند.) در همین سال ها مورله مفهوم موجک و تبدیل موجک را بعنوان یک ابزار برای آنالیز سیگنال زمین لزره وارد کرد و گراسمن فیزیکدان نظری فرانسه نیز فرمول وارونی را برای تبدیل موجک بدست آورد.
در سال ۱۹۷۶ میرو و مالت از پایه های موجک متعامد توانسنتد آنالیز چند تفکیکی را بسازند و مالت تجزیه موجک ها و الگوریتم های بازسازی را با بکار بردن آنالیز چند تفکیکی بوجود آورد. در سال ۱۹۹۰ مورنزی همراه با آنتوان موجک ها را به دو بعد و سپس به فضاهایی با ابعد دیگر گسترش دادند و بدین ترتیب بود که آنالیز موجکی پایه گذاری گردید.
ب) آشنایی
آنالیز موجک (Wavelet Analysis) یکی از دستاوردهای نسبتا جدید و هیجان انگیز ریاضیات محض که مبتنی بر چندین دهه پژوهش در آنالیز همساز است، امروزه کاربردهای مهمی در بسیاری از رشته های علوم  و مهندسی یافته و امکانات جدیدی برای درک جنبه های ریاضی آن و نیز افزایش کاربردهایش فراهم شده است.
در آنالیز موجک هم مانند آنالیز فوریه با بسط تابع ها سروکار داریم ولی این بسط برحسب «موجک ها» انجام می شود.
موجک تابع مشخص مفروضی با میانگین صفر است و بسط برحسب انتقالها و اتساعهای این تابع انجام می گیرد، بر خلاف چند جمله ای های مثلثاتی، موجک ها در فضا بصورت موضعی بررسی می شوند و به این ترتیب ارتباط نزدیکتری بین بعضی توابع و ضرایب آن ها امکان پذیر می شود و پایداری عددی بیشتری در باز سازی و محاسبات فراهم می گردد. هر کاربردی را که مبتنی بر تبدیل سریع فوریه است می توان با استفاده از موجک ها فومول بندی کرد و اطلاعات فضایی (یا زمانی) موضعی بیشتری بدست آورد. بطور کلی، این موضوع بر پردازش سیگنال و تصویر و الگوریتم های عددی سریع برای محاسبه ی عملگرهای انتگرالی اثر می گذارد.
آنالیز موجک حاصل ۵۰ سال کار ریاضی (نظریه ی لیتلوود – پیلی و کالدرون – زیگموند) است که طی آن، با توجه به مشکلاتی که در پاسخ دادن به ساده ترین پرسش های مربوط به تبدیل فوریه وجود داشت، جانشینهای انعطاف پذیر ساده تری از طریق آنالیز همساز ارائه شدند. مستقل از این نظریه که درون ریاضیات محض جای دارد، صورتهای مختلفی از این رهیافت چند مقیاسی (multi Scale) را در طی دهه ی گذشته در پردازش تصویر، آکوستیک، کدگذاری(به شکل فیلترهای آیینه ای متعامد و الگوریتمهای هرمی)، و استخراج نفت دیده ایم.
ج) کاربردها
آنالیز موجک همراه با تبدیل سریع فوریه در تحلیل سیگنالهای گذرایی که سریعا تغییر می کنند، صدا و سیگنالهای صوتی، جریان های الکتریکی در مغز، صداهای زیر آبی ضربه ای و داده های طیف نمایی NMR، و در کنترل نیروگاههای برق از طریق صفحه ی نمایش کامپیوتر بکار رفته است. و نیز بعنوان ابزاری علمی، برای روشن ساختن ساختارهای پیچیده ای که در تلاطم ظاهر می شوند، جریان های جوی، و در بررسی ساختارهای ستاره ای از آن استفاده شده است. این آنالیز به عنوان یک ابزار عددی می تواند مانند تبدیل سریع فوریه تا حد زیادی از پیچیدگی محاسبات بزرگ مقیاس بکاهد، بدین ترتیب که با تغییر هموار ضریب، ماتریس های متراکم را به شکل تنکی که به سرعت قابل محاسبه باشد در آورد. راحتی و سادگی این آنالیز باعث ساختن تراشه هایی شده است که قادر به کدگذاری به نحوی بسیار کارا، و فشرده سازی سیگنالها و تصاویرند.
آنالیز موجک امروزه کاربردهای فراوانی پیدا کرده است که از آن جمله می توان به کاربرد آن در تصویر برداری پزشکی (MRI) و سی تی اسکن (CAT)، جداسازی بافت های مغزی از تصاویر تشدید مغناطیس، تشخیص خودکار خوشه های میکروکلسیفیکاسیون، تحلیل تصاویر طیفی تشدید مغناطیسی (MR Spectrorscopy) و عملکردهای تشدید مغناطیسی (F MRI) اشاره نمود.

منابع

1. انفجار ریاضیات/ انجمن ریاضی فرانسه
2. نشر ریاضی(مجله ریاضی مرکز نشر دانشگاهی )-سال پنجم-شماره های ۱و۲
3. کاربرد موجک ها در اپتیک کوانتومی(پایان نامه ی کارشناسی ارشد) / روح اله نمازی ریزی- دانشكده : علوم اصفهان
4. مبناها مبناهای موجک وفقی بهینه برای پردازش تصویر و ویدیو(پایان نامه ی کارشناسی ارشد) / مهدی امیری قزلجه - دانشکده ی مهندسی کامپیوتر صنعتی شریف
5. نشریه مهندسی برق و کامپوتر ایران، فشرده سازی وفقی سیگنال صحبت باند وسیع و صوت با استفاده از تبدیل موجک/طه مرتضوی و محمد حسن ساوجی-۱۳۸۵
6. حمید سعیدی، محمود مدرس هاشمی و سعید صدری , بهبود آشکارسازی اهداف راداری با استفاده از نویززدائی برپایه تبدیل موجک
7. نشریه استقلال , سال ۱۳۸۴ , جلد ۲۴ , شماره ۱ , تابستان , از صفحه ۱۷ تا صفحه ۲۹
8. وبلاگ لبخند ریاضی

چرا ریاضی می خوانیم ؟

 مقاله‌اي از:  دكتر كورش اسلامي 

فكر مي‌كنم با اوضاع و احوال كنوني كه هر محاسبه‌‌اي از هر قسم و هر نوع با زدن يك دكمه توسط نرم‌افزارهاي متنوع انجام مي‌شود صحبت از اين‌كه خواندن رياضيات از ملزومات زندگي روزمره است كمي ساده‌انگارانه باشد‌‌. ديگر آن زمان كه لازم بود بسياري چيزها ياد بگيريم تا بتوانيم منحني يك تابع را رسم كنيم گذشته است‌‌. امروزه اين كار حتي از عهده‌‌‌‌ي ساده‌ترين ماشين‌حساب‌ها نيز بر‌مي‌‌آيد‌‌. ديگر آن روز‌‌ها كه به بچه‌ها مي‌گفتيم كه حتي اگر وارد كار تجارت نيز بشويد باز براي رسيدگي به حساب و كتاب‌هايتان بايد رياضيات بدانيد سپري شده است. تمام اين كارها توسط نرم‌افزارهايي كه به‌سادگي در دسترس همگان است انجام مي‌شود.

یک کاغذ را چند بار می توان تا کرد؟

این مسیله را همه ما تجربه کرده ایم اما شاید هیچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده باشیم.
اگر ورق را هر بار طوری تا کنید که اندازه آن نصف شود بیش از ۷ یا ۸ بار نمی توانید آن را تا کنید. مهم نیست ورق اولیه شما چقدر بزرگ باشد. شاید تا به حال این قضیه را شنیده باشید و سعی کرده باشید که آن را امتحان کنید و متوجه شده باشید که تا کردن کاغذ بیش از۷ یا ۸ بار بسیار سخت است. آیا می توان گفت که این اعداد یک محدودیت مستدل و عمومی برای تا کردن کاغذ هستند؟
فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده اید که دارای پهنای w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از یک سمت بکنید وقتی به جایی برسید که دیگر نتوانید کاغذ را تا کنید یک نوار باریک خواهید داشت.
با هر تا کردن ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. یعنی بعد از N بار تا کردن ضخامت ۲n خواهد بود و البته مشخص است که پهنا ۰.۵n می شود
اگر با کاغذی به پهنای ۱۱cm و ضخامت ۰.۰۰۲cm این کار را انجام دهید بعد از ۷ بار تا کردن نسبت t/w برابر ۱/۶ می شود. این بدان معنیست که اندازه ضخامت از پهنا بیشتر می شود و در نتیجه دیگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهید بود. اگر این کاغذ را ۵۰ بار بزرگتر کنید شاید بتوانید آن را تا ۱۰ بار هم تا کنید.
اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات بیشتری بتوانید به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه یک بار نصف می شود.
چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این مسیله رو به رو شد که چگونه کاغذی را ۱۲ بار تا کند . او باید برای گرفتن نمره از یکی از کلاسهایش این مسیله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را ۱۲ بار تا کند. اما مسیله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.
گالیوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار کرد.

که در آن L کمترین درازای کاغذ، t میزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L باید یکسان باشد.
برای یک طول و ضخامت معین عبارت *******بیانگر آن است که صفحه بعد از n بار تا کردن چند برابر کوچک شده است. با n=۰ شروع می کنیم و به همین ترتیب به رشته ای از اعداد به این صورت می رسیم:

این به این معنی است که در تای دوازدهم ۲۷۹۸۲۵۰ برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.
گالیوان در کتابی با نام ((Historical Society of Pomona Valley)) چگونگی به دست آوردن این معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضیح داده است. بالاخره در June ۲۰۰۲ گالیوان یک کاغذ بزرگ را ۱۲بار تا کرد.
راستی اگر از دید دیگری مسیله را نگاه کنیم باز هم جالب خواهد بود. منظورم این است که اگر تا کردن کاغذ را با ارتفاع بسنجیم بعد از ۱۰ بار تا کردن ضخامت کاغذ بدست آمده ۱۰۲۴ برابر حالت اولیه می شود و در مرحله ۱۱ ام۲۰۴۸ و در مرحله ۱۲ ام ۴۰۹۶
یعنی در مرحله دوازدهم باید ۴۰۹۶ برگ را تا کنیم که ضخامتی برابر با حدود ۵۰ سانتی متر که کار خیلی دشوار و تقریبا ناممکن است. ۰, ۱, ۴, ۱۴, ۵۰, ۱۸۶, ۷۱۴, ۲۷۹۴, ۱۱۰۵۰, ۴۳۹۴۶, ۱۷۵۲۷۴, ۷۰۰۰۷۴, ۲۷۹۸۲۵۰, . . .

آیا صفر یعنی هیچ؟

آرام در کنار آنها نشستم و با علامت دست خواهش کردم بحث خود را ادامه دهند. سه نفر بودند ؛ توکا ، کبوتر و آرش … کبوتر با هیجان و اندکی خشم گفت: - هر چیزی را که نمی شود معنا کرد؛ “بالا” یعنی بالا و “پایین” یعنی پایین. بعد سرش را به طرف توکا برگرداند و گفت: - سرت را بالا بگیر . توکا از روی صندلی بلندشد، ایستاد و سرش را به طرف آسمان گرفت. – حالا ، آرش ، تو سرت را پایین بگیر. آرش بلند شد، کف دو دستش را روی زمین گذاشت و با حرکتی تند، تلاش کرد پاهایش را به طرف آسمان ببرد و روی دو دست خود بایستد ( مثل کسانی که آکروبات می کنند) ولی نتوانست و از سمت دیگر افتاد و پشتش محکم به زمین خورد. فریادی کشید و گفت: - چه کار سختی ؟ من نمی توانم . ولی کبوتر خشمگین تر به او گفت: - چرا خودت را به سادگی می زنی؟ همان جور که روی دو پایت ایستاده ای ، می توانی سرت را “بالا” بگیری؛ به طرف آسمان .( و ادامه داد) می بینید، “بالا” یعنی به طرف آسمان و طرف ستارگان و “پایین” یعنی به طرف زمین . این را همه می فهمند.

آرش زمزمه کرد: - ولی آسمان و ستارگان ، فقط “بالا” نیستند؛ حتی در “پایین” هم ، آسمان و ستاره است. پس به نظر تو “بالا” یعنی جایی که می تواند”پایین” یا “سمت راست” یا “سمت چپ” یا “روبه رو” و “پشت سرهم” باشد؟ توکا دخالت کرد: - “پایین” جایی است که همه چیز به طرف آن می افتد. کبوتر پذیرفت . ولی توکا ادامه داد: - پس آن طور که خیال می کنیم، نمی توان گفت :”بالا” یعنی بالا و “پایین” یعنی پایین . هر چیزی نیاز به تعریف دارد. ولی آرش موضوع را پیچیده تر کرد: - این درست! ما در ایران که در نیمکره شمالی هستیم، با آنها که از جمله در استرالیا ، یعنی نیمکره جنوبی هستند، در دو جهت مختلف ایستاده ایم ؛ “پایین” برای ما و برای آنها در دو جهت مخالف است. نمونه دیگری بیاوریم که در گفت و گوهای معمولی واژه های”بالا” و “پایین” معناهای دیگری هم دارند:”بالاتر از چهار راه” ، “پایین تر از فلان خیابان”.
این جا دیگر “بالا” و “پایین” به آن مفهومی که گفتیم، معنا نمی دهند . در ضمن ، اگر به کسی نشانی منزل خود را این طور بدهید:”پایین تر از چهارراه A و بالاتر از مغازه B ” ، در واقع او را سرگردان کرده اید. چهار خیابان یا کوچه در چهار راه A به هم می رسند؛ کدام طرف را بالا و کدام طرف را بالا و کدام طرف را پایین می دانید؟ … به هر حال ، برای درک آن در نظر گرفت . توکا گفت: من حرف دیگری دارم. – وقتی در هوای سرد زمستان ، نفس خود را بیرون می دهید، بخار آبی که از دهان شما خارج می شود، به طرف زمین نمی رود. وقتی کتری یا سماور می جوشد، باز هم بخار آب در جهت عکس می رود و به زمین نمی رسد. درست است که من گفتم :”پایین جایی است که همه چیز به طرف آن می افتد”؛ ولی مگر بخار آب جزو “همه چیز ” نیست؟ این مشکل را چگونه حل کنیم؟ کبوتر می اندیشید … بعد سرش را بالا گرفت و گفت: - مشکل دیگری هم هست .

من در یک فیلم که به یک سفینه واقعی فضایی مربوط بود، دیدم چیزی به طرف کف فضا پیما نمی افتد، همه چیز در هوا معلق می شود. نمی دانم در این باره چه بگویم؟ در آن “بالا” کجاست و “پایین” کجا؟ آرش دخالت کرد: - آن نقطه “صفر” است، مرز پایین و بالا است. نه بالایی وجود دارد و نه پایینی . کبوتر و توکا هر دو اعتراض داشتند. –”صفر ” یعنی چه ؟ مگر “صفر” به معنای “هیچ” نیست؟ چیزی که “هیچ” است، یعنی وجود ندارد. مگر می شود داوری خود را بر پایه “چیزی” بگذاریم که وجود ندارد؟ - سکوت! هر سه نفر رو به من کردند. می خواستند مشکل آنها را حل کنم . پرسیدم: - شماها به چه چیزی “واقعی”می گویید؟ از کجا بفهمیم” چه چیزی وجود دارد و چه چیزی وجود ندارد”؟ کبوتر: - چیزی “وجود دارد” که قابل لمس باشد، بتوان آن را “حس کرد، “وجودی” مادی باشد یا بشود آن را “شنید” یا “بویید”. “صفر ” نه قابل لمس است، نه قابل شنیدن و نه قابل بوییدن. – درباره مفهومهایی مثل “عشق” ، “دوستی” ، “ک"

اعداد خیلی بزرگ و خیلی کوچک

فرمول مساحت مثلث را کشف کنيد.

طرح درس:
در این درس، فرمولی برای مساحت مثلث به دست خواهد آمد. دانش آموزان مساحت مستطیل و مربع را محاسبه می کنند و آنها را با مساحت مثلث هایی که در این شکلها می توان یافت، مقایسه می کنند.

اهداف:
محاسبه مساحت مستطیل و مربع
بدست آوردن فرمولی برای مساحت مثلث
استفاده از فرمول مساحت برای محاسبه مساحت مثلث و یا یافتن یکی از اندازه ها

وسایل لازم:
خط کش
قیچی
ماشین حساب
برگه فعالیت "مثلث های غیر مشخص"


روش تدریس:
قبل از این درس، لازم است دانش آموزان اندازه گیری ابعاد و محاسبه مساحت مستطیل و مربع را آموزش دیده باشند. برای آمادگی بیشتر، از بچه ها بخواهید تا دست کم اندازه های یک مربع و مستطیل را که در کلاس درس می بینند به دست آورند، ابعاد آن ها را یادداشت کنند و مساحت هر یک را حساب کنند. به عنوان مثال آنها می توانند مساحت کاشی های کف کلاس، پنجره ، تخته سیاه، یا تابلو اعلانات کلاس، سطح روی میزها یا قفسه ها و ... را به دست آورند. آنها را تشویق کنید تا آنجا که می توانند مساحت شکل های گوناگون را حساب کنند و نتایج کار خود را در کلاس اعلام کنند.
دانش آموزان را به گروه های سه نفره تقسیم کنید و هر سه نفر در فعالیت گروه مسئول هستند، ولی می توانید وظایف زیر را برای هر کدام تعریف کنید:

• مسئول یادداشت: ثبت تمام اطلاعات مهم
• مسئول محاسبات: تایید تمام اندازه گیری ها و محاسبات
• مسئول گزارش: گزارش اطلاعات مربوط به کلاس

برگه فعالیت "مربع ها و مستطیل ها" را بین بچه ها پخش کنید. هر عضو گروه باید ابعاد همه شکلهای روی برگه فعالیت را اندازه بگیرد و مساحت آنها را محاسبه کند. به آنها فرصت دهید تا قبل از ادامه کار، پاسخ ها و اندازه های خود را با اعضای گروه خود مقایسه کنند.
اگر لازم است، فرمول مساحت مستطیل را یادآوری کنید: عرض × طول = مساحت مستطیل(A=b*h).

سپس دانش آموزان باید با استفاده از خط کش یکی از قطرهای شکل های A و B و C را رسم کنند و هر شکل را از روی قطر آن با قیچی ببرند تا به دو قسمت تقسیم شود. بعد در هر گروه مساحت مثلث های به وجود آمده را تخمین بزنند.آنها می توانند این کار را به هر روش که می خواهند انجام دهند. یک روش آن است که تعداد مربع های موجود در هر شکل را بشمارند و مربع های نصف یا خرد شده را نیز با هم بشمارند تا مربع کامل حساب شود. روش دیگر درک این موضوع است که هر مثلث، مساحتی برابر با نصف مساحت شکل اصلی دارد (دانش آموزن می توانند این موضوع را با قراردادن نیمه دیگر روی آن ببینند). نتایج کار را در کل کلاس به بحث بگذارید.
به روش مشابه، دانش آموزان باید مساحت بزرگترین مثلث به وجود آمده در شکل D را که مانند شکل زیر به 3 قسمت تقسیم شده است، به دست آورند. همان طور که برای شکل های A و B و C انجام شد، دانش آموزان می توانند مساحت این مثلث را با شمردن مربع ها تخمین بزنند یا دو مثلث کوچکتر را طوری کنار هم قرار دهند تا شکلی شبیه مثلث بزرگتر ساخته شود.

ممکن است در هر گروه دانش آموزان نقاط دیگری از ضلع بالایی مستطیل را برای رسم مثلث ها انتخاب کنند. اما به هر حال هر دانش آموز باید این نکته را متوجه شود که مساحت مثلث بزرگتر برابر با نصف مساحت مستطیل اولیه است. نکته مهمتر این است که اعضای هر گروه درک کنند که محل قرار گرفتن راس بالایی مثلث روی ضلع مستطیل، تأثیری در این موضوع ندارد.

 برای آنکه به آنها فرصت بیشتری برای تجربه این موضوع بدهید، از آنها بخواهید تا فعالیت "مساحت مثلث ها" را انجام دهند.

دانش آموزان باید بفهمند که اگرچه شکل مثلث ممکن است تغییر کند، ولی قاعده، ارتفاع و مساحت آن تغییریبر این موضوع، از آنها بخواهید تا نقطه B را آنقدر جابه جا کنند که نقطه D درست بر روی نقطه A قرار بگیرد. همان طور که در تصویر می بینید، این کار یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست در رأس A بi وجود می آورد. حالا از آنها بخواهید تا نقطه B را دوباره آنقدر جابه جا کنند که نقطه D روی نقطه C قرار بگیرد. این کار هم یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست در رأس C به وجود می آورد. دانش آموزان به سرعت متوجه می شوند که این مثلث ها متجانس اند، پس مساحت های یکسان خواهند داشت. نمی کند. برای تاکید

در مورد نتایج در کلاس بحث کنید. از دانش آموزان بپرسید مساحت هر مثلث چه ارتباطی با مساحت شکل اولیه دارد؟ آنها باید فهمیده باشند که در هر مورد، مساحت مثلث برابر با یک دوم مساحت مستطیل است. (در اینجا ممکن است بخواهید فرمول A=1/2bh را به دانش آموزان بگویید، ولی اگر به آنها فرصت دهید تا خودشان فرمول را با استفاده از فعالیت بعدی و بحث های متوالی آن به دست آورند، ارزش بیشتری خواهد داشت.)
برگه فعالیت "مثلث های غیرمشخص" را در کلاس پخش کنید. در این پلی کپی اندازه های دو مثلث داده شده. از دانش آموزان بخواهید تا مساحت مثلث ها را به دست آورند. به آنها اجازه دهید تا مساحت ها را از هر روشی که می خواهند به دست آورند، ولی آنها را به استفاده از آنچه به تازگی در مورد مساحت یافته اند تشویق کنید. دانش آموزان احتمالا متوجه می شوند که اولین مثلث، یک مثلث قائم الزاویه است، پس مساحت آن یک دوم مساحت مستطیلی است که از روی قطرش به دو قسمت تقسیم شده است. اما ممکن است در مورد مثلث دوم، درک این موضوع که مساحت آن برابر با نصف مساحت مستطیلی به ابعاد 4×3 است، برای آنها مشکل باشد. در حین این که بچه ها کار می کنند، در کلاس بگردید و با پرسش های خود، آنها را در رسیدن به این نتیجه راهنمایی کنید. است

از دانش آموزان بخواهید فرمولی برای محاسبه مساحت مثلث کشف کنند. از آنها بخواهید تا دلایل خود رادرست عمل می کند. برای هدایت آنها می توانید چنین پرسش هایی را طرح کنید: "مساحت یک مثلث چه ارتباطی با مساحت مستطیل دارد؟" و "فرمول مساحت مستطیل چیست؟" مراقب باشید تا پرسش هایتان را خیلی زود نپرسید و تعدادشان هم زیاد نباشد، چرا که یادگیری در صورتی که بچه ها خودشان فرمول را به وجود آورند، بسیار مؤثرتر است. توضیح دهند و ثابت کنند که فرمولشان

پرسش هایی برای دانش آموزان:
آیا مساحت دو مثلث با ارتفاع های مساوی، با هم برابر است؟ اگر بله، چرا و اگر نه چرا ؟ چند مثال بزنید.

(مساحت دو مثلث که ارتفاع برابر دارند، تنها در صورتی مساوی خواهد بود که دارای قاعده های مساوی نیزرا که ارتفاع هر دو  4cm است، در نظر بگیرید: اگر قاعده یکی از آنها 3cm باشد، مساحت آن A = ½ × 3 × 4 = 6 خواهد بود و اگر قاعده مثلث دیگر 5cm باشد، مساحت آن A = ½ × 5 × 4 = 10  است. روشن است که مساحت ها برابر نیستند. از سوی دیگر، دو مثلث زیر مساحت های  یکسان دارند، زیرا با هم مساوی است و متفاوت بودن شکل آنها در مساحت شان تأثیری ندارد.) باشند. دو مثلث اندازه ارتفاع و قاعده آنها

برای بچه ها توضیح دهید که چگونه می توان از شکل های دیگری به جز مربع و مستطیل، برای به دست آوردن فرمول مساحت مثلث استفاده کرد.
 

(فرمول مساحت متوازی الاضلاع A=b*h است، که شبیه به همان فرمول مساحت مستطیل است. با دو قسمت کردن یک متوازی الاضلاع از روی قطر آن، دو مثلث متجانس تشکیل می شود که ما را به همان نتیجهیعنی فرمول مساحت مثلث A=1/2bh خواهد بود.)
قبلی می رساند.

پرسش هایی برای معلم:

• آیا دانش آموزان برای یافتن مساحت مثلث های خود، از روشهای دیگری استفاده کردند؟اگر چنین بود، شما باتوضیح آنها چگونه برخورد کردید؟
• دانش آموزان از چه راههای دیگری نشان دادند که فعالانه مجذوب فرآیند یادگیری شده اند؟
• آیا بچه ها درک و دریافت خود را از اینکه چرا و چگونه فرمول A=1/2bh را به کار می بریم،نشان دادند؟
• آیا هنگامی که از آنان خواستید تا درستی کار یکدیگر را بررسی کنند، هیچ برخورد منفی یا مثبتی مشاهده کردید؟
• آیا در هنگام تدریس ایجاد هیچ تغییری را لازم دانستید؟ اگر بله، در کجا و چگونه این تغییر باید انجام شود؟

ارزشیابی:
مثلث برمودا ناحیه ای مثلث شکل است که در محدودۀ بین سن جوان در پرتوریکو، میامی در فلوریدا و برمودا واقع شده است. با استفاده از یک نقشه، دانش آموزان باید ابعاد مثلث برمودا را اندازه بگیرند و با کمک مقیاسی که  نقشه دارد، مساحت واقعی مثلث برمودا را حساب کنند. شما می توانید از اسلاید "نقشه مثلث برمودا" برای نشان دادن این ناحیه به دانش آموزان استفاده کنید.

از دانش آموزان بخواهید تا به گروههای دو نفره تقسیم شوند و هر کدام مثلث هایی را از کاغذ ببرند و به هم گروه خود بدهند تا مساحت مثلث ها را حساب کند. هر دانش آموز باید پاسخهای دیگری را کنترل کند و با یکدیگر به برطرف کردن اختلافات بپردازند.

توسعه:
دانش آموزان باید با استفاده از اینترنت، در مورد تاریخچه و ابعاد مثلث برمودا تحقیق کنند و گزارشی از یافته های خود را در کلاس ارائه دهند. برخی پرسشها که می توانید از بچه ها بپرسید، عبارتند از:

• آیا مثلث برمودا واقعا یک مثلث است؟ اگر نه، شکل حقیقی آن چیست؟ چرا؟ اگر مثلث نیست، آیا می توانید مساحت کل آن منطقه ای را که مثلث برمودا پوشانده است تخمین بزنید؟
• آیا فکر می کنید که مثلث برمودا یک "مرکز" دارد؟ از کجا می توانید بفهمید؟

تجسم تصویری از یک تصاعد نامتناهی

توضیح اولیه:
این طرح درس با استفاده از به تصویر کشیدن یک سری نامتناهی از اعداد کسری، کمک می‌کند تا دانش آموزان مفهوم چنین سری اعدادی را مستقیماً درک کنند و مشاهده كنند که یک سری نامتناهی، می‌تواند به یک پاسخ متناهی و یک حاصل جمع مشخص ختم شود. دانش‌آموزان با تكیه بر آموخته‌های خود در این درس می‌توانند بین اشکال هندسی و سری‌های اعداد ارتباط برقرار كنند. افزون بر این‌ها، تصویر کردن کسرهای توان‌دار را نیز تجربه خواهند کرد.

اهداف:
در پایان این جلسه دانش آموزان می‌توانند

• مفهوم تصاعد هندسی نامتناهی را به کمک تصویر درک كنند.

• امكان وجود حاصل‌جمع متناهی و مشخص برای مجموعه‌ا‌ی نامتناهی از اعداد را بپذیرند.

• برای تصاعد‌های هندسی، تجسم تصویری پیدا كنند.

• روابط بین تصاعد‌ها و سری‌های مختلف را بررسی كنند و با این بررسی‌ها حاصل‌جمع بعضی از سری‌های ناآشنا را پیش بینی كنند.

وسایل لازم:

• برگه ی فعالیت A (با تصاویر رنگ نشده)، دو برگ کاغذ شطرنجی و مدادرنگی (برای جلسه‌ی اول).

• کاغذ شطرنجی، مدادرنگی و ماشین حساب (برای جلسه‌ی دوم).

جلسه ی اول
پیش از شروع درس، مطمئن شوید که دانش آموزان مفهوم "‌نامتناهی‌"را از پیش می‌دانند. در صورتی که تشخیص دادید لازم است، با مثال‌هایی مفهوم بی‌نهایت را به آنان یادآوری کنید. مثلاً می‌توانید از تکرار شدن تصویر به تعداد نا‌محدود در دو آینه‌ی روبروی هم استفاده کنید و عملاً به آن‌ها نشان دهید که تصویرها تا بی‌نهایت ادامه دارند. سپس برگه ی فعالیت A را به آنان بدهید و از آن‌ها بخواهید تا قسمت سمت چپ از تصویر اول را رنگ‌آمیزی کنند. از آن‌ها بخواهید تا کسر مربوط به قسمت رنگ شده را در کنار شکل بنویسند.

در گام بعد قسمت سمت چپ از ذوزنقه‌ی کوچکتر در تصویر دوم را نیز رنگ بزنند و کسر مربوط به آن را بنویسند. احتمال دارد در نوشتن این کسر احتیاج به راهنمایی داشته باشند. یاد‌آوری کنید که ذوزنقه‌ی اصلی باید به عنوان واحد و برابر با یک در نظر گرفته شود و ذوزنقه‌ی کوچک   از ذوزنقه‌ی اصلی است. پس  از  کل رنگ شده است. یعنی ²() که به قبل اضافه شده است. این کار را برای تصویر سوم نیز تکرار کنید و ³() + را در کنار شکل بنویسید. از آنان بخواهید كه فرض كنند در تصویر چهارم، n بار تقسیم کردن ذوزنقه به 4 قسمت و رنگ کردن یک قسمت از آن تکرار شده است. پس کسر مربوط به آخرین قسمت ⁿ() خواهد بود، که به کسرهای قبل اضافه می‌شود. حالا مجموع همه‌ی کسرهای به دست آمده را به این شکل روی تخته‌ی کلاس بنویسید:

توضیح دهید که:

مجموع این جملات، در واقع مقدار رنگ شده از ذوزنقه‌ی اصلی را در شکل چهارم نشان می‌دهد. از آن‌ها بخواهید تا تصور کنند این کار را بی شمار بار تکرار کنیم و به تقسیم کردن ذوزنقه‌ها تا بی‌نهایت ادامه دهیم. در این صورت باید سری بالا را به این شکل کامل کنیم:

حالا از دانش آموزان بخواهید تا حاصل جمع نهایی را حدس بزنند. یادآوری کنید که با دقت کردن در تصویر به جواب خواهند رسید. در نهایت (پس از آن‌که دانش‌آموزان پاسخ دادند) پاسخ  را در طرف دوم تساوی قرار داده و برای آن‌ها توضیح دهید كه «شاید فکر کنید اگر به حد کافی به اضافه کردن جمله‌های این تصاعد ادامه دهیم، مقدار نهایی آن نیز بدون هیچ محدودیتی افزایش خواهد یافت و به بی‌نهایت خواهد رسید. اما در تصویر می‌بینیم که قسمت رنگ شده هیچ‌گاه از ذوزنقه‌ی اول بیرون نخواهد رفت و همواره به  شکل هندسی محدود خواهد بود. پس پاسخ این حاصل‌جمع، عددی متناهی است».
حالا مرحله ی بعد را اجرا کنید. به هر دانش آموز یک برگ کاغذ شطرنجی بدهید و از آنان بخواهید که یک مربع به ضلع 32 خانه در آن رسم کنند. سپس یک قطر مربع را رسم کنند و آن را به دو نیمه‌ی مساوی تقسیم نمایند، نیمه ی سمت چپ را رنگ کنند و مثلث رنگ نشده را نیز با یک خط به دو مثلث مساوی تقسیم کنند و باز هم مثلث سمت چپ را رنگ کنند. این تقسیم‌ها و رنگ کردن یک نیمه را تا آنجا که می‌شود ادامه دهند و سعی کنند برای هر مرحله کسر مربوط را بنویسند و آن‌ها را با هم جمع کنند. فرض کنند این تقسیمات را به تعداد نامحدود ادامه دهیم. پس سری مربوط به آن، به این صورت در خواهد آمد:

حالا توجه آنها را به این موضوع جلب کنید که هیچ گاه پیش نمی‌آید که ما ناحیه‌ای خارج از مربع را رنگ آمیزی کنیم. پس باز هم پاسخ این مجموع، یک عدد متناهی خواهد بود؛ اما «چه عددی؟». از دانش آموزان بخواهید تا با نگاه کردن به تصویر، حاصل جمع را حدس بزنند و رابطه را به صورت زیر کامل کنند:

شما نیز رابطه‌ی دوم را درست در زیر رابطه‌ی اول، روی تخته‌ی کلاس بنویسید و بعد این سری جدید را اضافه کنید:

از دانش‌آموزان بپرسید كه آیا می‌توانند پاسخ این یکی را پیش بینی کنند؟ بخواهید تا الگویی با توجه به دو تساوی قبل پیدا کنند و  در نهایت پاسخ را حدس بزنند؛ در غیر این صورت خود شما به عنوان یک حدس، عدد را اعلام کنید و از آنان بخواهید تا برای اثبات آن دست به کار شوند. روی کاغذ شطرنجی یک مربع به ضلع 27 خانه رسم کنند و آن را به سه ردیف مساوی (هرکدام به مساحت 27*9 خانه) تقسیم کنند و ردیف پایینی را رنگ بزنند. «این چه کسری است؟». پاسخ را در زیر تصویر ثبت کنید. سپس از آن‌ها بخواهید ردیف وسطی را به سه ستون مساوی (9*9) تقسیم کنند و قسمت سمت راست را رنگ کنند. «حالا چه کسری به کسر قبل اضافه شده؟»؛  از  یا ²(). این عدد را به  اضافه کنید و از دانش‌اموزان بخواهید كه قسمت وسط را باز هم به سه قسمت مساوی تقسیم کنند و ردیف پایینی را رنگ بزنند. حالا ²() به مجموع قبل اضافه شده است. دانش آموزان باید در مرحله‌ی بعد هم ردیف وسطی را به سه ستون تقسیم کنند و قسمت سمت راست را رنگ بزنند؛ به همین ترتیب این روش را ادامه بدهند و در هر مرحله نیز جمله‌ی جدیدی به تصاعد اضافه کنند:

حالا با توجه به شکل می‌توانند پاسخ مجموع جمله‌ها را در صورتی که کار تقسیم تا بی‌نهایت ادامه پیدا کند، حدس بزنند و تساوی را کامل کنند.

(در صورت نیاز از بچه‌ها بخواهید قطر مربع را رسم کنند تا متوجه شوند که هر قسمت خالی در نیمه‌ی راست مربع، مساوی با یك قسمت رنگ شده از نیمه‌ی سمت چپ آن است).

حالا در مرحله‌ی آخر از دانش‌آموزان بخواهید تا پاسخ این یکی را بر اساس رابطه‌های قبلی حدس بزنند:

كه در آن a عدد طبیعی است. احتمالاً دانش‌آموزان در انتها پاسخ را پیشنهاد خواهند کرد.
تنها مشکل باقیمانده این است که آیا این رابطه را با استفاده از تصویر نیز می‌توان نشان داد یا خیر؟ از آنان بخواهید تا درباره این موضوع فکر کنند و اگر پیشنهادی داشتند در جلسه‌ی بعد مطرح کنند.

جلسه ی دوم

برای یادآوری درس قبل، ابتدا سه رابطه ی تصاعدی و سپس رابطه ی چهارم را بر حسب a و n زیر هم روی تخته ی کلاس بنویسید و با دانش آموزان گفتگوی کوتاهی درباره ی آنها و تصاویر هر یک داشته باشید. سپس این پرسش را مطرح کنید که اگر a=5 باشد، رابطه به چه شکلی خواهد بود؟ پس از دریافت پیشنهادات دانش آموزان، این رابطه را روی تخته بنویسید:

از بچه‌ها نیز بخواهید تا پاسخ را پیش‌بینی کنند. با استفاده از الگویی که جلسه پیش درباره آن صحبت شده، احتمالاً پاسخ قابل پیش‌بینی است.
حالا برای اثبات درستی جواب، راه جدیدی را پیشنهاد کنید: از آنان بخواهید تا جمله‌ها را یکی‌یکی در ماشین حساب وارد کنند و با هم جمع کنند. بپرسید که آیا با هر بار اضافه کردن جمله‌ها، حاصل جمع به عددی که حدس زده‌اند نزدیک‌تر می‌شود یا نه؟

سپس از آنها بخواهید تا با استفاده از کاغذ شطرنجی، تصویری رسم کنند که این تساوی را نشان دهد (در صورتی که احساس کردید این کار احتیاج به زمان بیشتری دارد، می توانید این قسمت را به عنوان تمرینی برای كار در خانه، پیشنهاد دهید).

در مرحله‌ی آخر، با استفاده از روابط ریاضی و به کمک دانش‌آموزان، این رابطه را به صورت کلی اثبات کنید:

 فرض می کنیم که عدد S حاصل‌جمع سری مورد نظر ما است. پس داریم:

حالا یک تدبیر هوشمندانه به کار می‌بریم! هر دو طرف این تساوی را در ضرب کرده و جمله‌های مشابه را زیر هم می‌نویسیم:

حالا تساوی دوم را از اولی کم می‌کنیم. نتیجه را مشاهده كنید:

همان پاسخی است که انتظار داشتیم!

پس از این اثبات، دانش‌آموزان را وارد چالش جدیدی کنید: «آیا فکر می کنید صورت این کسرها حتماً باید عدد یک باشد؟! نمی شود هر عدد مثبت یا حتی منفی به جای آن بگذاریم؟». یعنی به این شکل:

(تذكر دهید که همواره باید کم‌تر از یک باشد تا تصاعد ما دارای جواب متناهی و معین شود). حالا از دانش‌آموزان بخواهید تا خودشان با استفاده از محاسبات ریاضی، درستی تساوی بالا را تحقیق کنند.

ارزشیابی:
در جلسه‌ی اول، بررسی برگه‌ی فعالیت و تصویرهایی که در کاغذ شطرنجی رسم شده‌اند برای ارزشیابی کار دانش‌آموزان کافی است. در جلسه‌ی دوم نیز تصویر پیشنهادی آن‌ها برای تصاعد  و بعد چگونگی اثبات تصاعد را برای ارزشیابی كار آن‌ها در نظر بگیرید. هم‌چنین اگر دانش‌آموزان برای مجموع جملات تصاعد با قدر نسبت تصویری پیشنهاد کردند، می‌توانید این تصویر را بررسی كنید و در صورت درستی، به دانش‌آموز طراح آن امتیاز تشویقی بدهید.

توضیحات:

برگه ی فعالیت A

توضیح اولیه:
 قسمت سمت چپ از تقسیم بندی های انجام شده را رنگ آمیزی کنيد و کسر مربوط به آن را در کنار تصویر بنویسيد:

حالا همه‌ی جمله‌ها را به ترتیب در اینجا بنویسيد و سعی کنيد مجموع آن‌ها را حدس بزنید (فرض کنيد این تقسیم‌بندی‌ها را به تعداد نامحدودی تکرار كرده‌ايد).

برای پیدا کردن حاصل‌جمع کافی است خوب به شکل آخر نگاه کنید! عجیب نیست؟! فکر می‌کنید چگونه مي‌توان این موضوع را توضیح داد که «مجموع بی‌نهایت جمله‌ی این رابطه، یک عدد متناهی و معین است»؟ باز هم از تصویر‌ها کمک بگیريد.

منبع: