ادامه مطلب...
ادامه مطلب...
|
دنباله فيبوناچي و عدد طلايي |
|
لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي حدود سال 1200 ميلادي مساله اي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد بدنيا بياورند ... اگر هيچ خرگوشي از بين نرود , در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟
فيبوناچي تصميم گرفت براي محاسبه تعداد انها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض كند. Fn= Fn-1 + Fn-2 با استفاده از اين فورمول و مقادير اوليه F1 =1 و F2 =2 ميتوان تعداد جفتها را پس از يك سال بدست اورد و نوشت F12=233 . حالا اگر در اين دنباله هر عدد را به عدد قبليش تقسيم كنيم يك همچين سري را خواهيم داشت: 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1·5, 5/3 = 1·666... 8/5 = 1·6, 13/8 = 1·625, 21/13 = 1·61538 و ... كه هرچه جلو بريم بنظر مي ايد كه به يك عدد مخصوص ميرسيم . براي بهتر ديدن موضوع به نمودار زير توجه كنيد:
ما اين عدد را عدد طلايي ميناميم كه اين عدد تقريبا برابر است با : ... 1.618033 به عبارتي ديگر حد اين دنباله به عدد طلايي ميرسد:
سري فيبوناچي در طبيعت: حالا ميام و به اين دنباله به صورت ديگري نگاه ميكنيم : اگر ما دو مربع به ضلع يك در كنار هم بگزاريم و در بالا اندو يك مربع با ضلع 2 بگزاريم و همين طوري تا اخر ... ما شكلي خواهيم داشت مثل شكل پايين :
اين مستطيل به مستطيل فيبوناچي معروف است.حالا اگر نقاطي از اين شكل را به هم وصل كنيم به شكل زير ميرسيم :
كه شبيه اين شكل را ميتوان در طبيعت و در شكل زير ديد:
از ديگر مثالهاي اين دنباله در طبيعت ميتوان به دانه هاي گل افتابگردن يا به تعداد گلبرگ بعضي گلها اشاره كرد (براي اطلاعات بيشتر به اينجا يا اينجا مراجعه كنيد) .
عدد طلايي در زمانهاي قديم هنرمندان يوناني به خوبي رياضي دانان مستطيل زيبايي مي شناختند كه از نظر هنري عرض 1 و طول X داشت در اين مستطيل هر وقت مربعي به ضلع 1 را از ان جدا كنند باز همان مستطيل با همان نسبتهاي مستطيل اصلي باقي ميماند . استفاده هاي اين عدد: هرم " ريم پاپيروس " در اهرام ثلاثه يكي از قديمي ترين مثالها از استفاده از اين عدد در ساخت بناهاست ...
باستان شناسان مطمئن نيستند كه ايا اين كار از قصد انجام شده يا اتفاقي بوده است ! مثال ديگر در بناي پارتنون در يونان وجود دارد .براي ساخت اين بنا كه در 440 BC ساخته شده است از مستطيل طلايي استفاده شده است:
در شكل زير نقشه اين بنا را ميتوانيد ببينيد ... امتحان كنيد ببينيد وقتي طول هر كدام از مستطيلهاي در شكل را به عرض ان تقسيم ميكنيد عدد طلايي بدست مي ايد؟؟؟
چگونگي كشيدن يك مستطيل طلايي:
از استفاده هاي ديگر اين عدد :
|
(خوانده ميشود في ) نمايش ميدهند
/math/New%20Folder%20(3)/Senmerv%20-%20آشنایی%20با%20سری%20فیبوناچی_files/fibo1.gif)
نمایش هندسی سری فیبوناچی
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ...
البته برخی از ریاضی دانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می دانند. نکته ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, ...
و یا :1, 2, 1.5, 1,666, 1.6, 1,625, 1.6153, 1.6190, 1.6176, 1.6181, 1.6179و ...
بله بنظر می رسد که این رشته به سمت همان عدد طلایی معروف میل میکند. بگونه ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد 1.618033988749895 می رسیم که با تقریب 14 رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می دهد.بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد :
fn = Phi n / 5½
که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.معمای زاد و ولد خرگوش!
در واقع فیبوناچی در سال 1202 به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :
- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما" باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.
حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟ (پاسخ را شما بدهید)
/math/New%20Folder%20(3)/Senmerv%20-%20آشنایی%20با%20سری%20فیبوناچی_files/fibo2.gif)
مارپیچ فیبوناچی
به شکل اول نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.
|
n å Fk = Fn+2 -1 k=1 F1+F2+F3+...+F2k+1=F2k+2 1+F2+F4+F6+...+F2k=F2k+1 n å F2k = FnFn+1 k=1 F2n = F2n+1-F2n-1 = Fn(Fn+1+Fn-1) = Fn(Fn+2Fn-1) = Fn(2Fn+1-Fn) F3n = F3n+1+F3n-F3n-1 F2n+1 = 4FnFn-1+F2n-2 f = 1 (1+Ö5) 2 = 1.6180339887498948204586834365638117720.... ¥ f = 13 + å (-1)n+1(2n+1)! 8 k=1 (n+2)! n!42n+3 ¥ f =1+å (-1)n+1 n=1 FnFn+1 Fn= (1+Ö5)n-(1-Ö5)n 2nÖ5 fn=Fnf +Fn-1 f = 2cos(p/5) =1sec(2p/5) 2 = 1 csc(p/10) 2 Xn= Fn+1 Fn fn =fn-1+fn-2 |