ادامه مطلب...
در اين مقاله ،اعداد كاتالان را معرفي كرده و چند مساله كه جواب آن ها منجر به اين اعداد مي شوند را مورد بررسي قرار مي دهيم...
ادامه مطلب...
وه سه نفر ریاضی دانان هندی برای غلبه بر مشكل به هر دری زدند و با بررسی مقالات مختلف بالاخره دریافتند كه در سال ۱۹۸۵یك ریاضیدان فرانسوی به نام اتن فووری از دانشگاه پاریس ۱۱این نكته را به صورت ریاضی اثبات كرده است. به این ترتیب آخرین بخش معما حل شد و آلگوریتم پیشنهادی این سه نفر با موفقیت پا به عرصه گذارد.... .
ادامه مطلب...
ادامه مطلب...
ادامه مطلب...
ادامه مطلب...
ادامه مطلب...
کم نیستند کسانی که ریاضیات را دانشی دشوار و دست نیافتنی و در ضمن خشک و خشن میپندارند و به همین مناسبت ، ریاضیدان و معلم ریاضی را فردی عبوس ، بیاحساس و بیذوق میپندارند و از اینکه کسی که سر و کار و رشتهاش ریاضیات است، اهل ذوق و هنر و شعر و موسیقی باشد و از آن لذت ببرد، متحیر میشوند. آیا به واقع هنر و ریاضیات ، یا به عبارت دیگر ، زیبایی و ظرافت و ریاضی دو مقوله متضاد و دور از هم و ناسازگارند؟ آیا علاقه به ریاضیات و تخصص داشتن در آن ، به معنای بیذوقی ، بیاحساسی و دور بودن از زندگی است؟ انسان ترکیبی از احساس ، عاطفه و تاثیر پذیری از یک طرف و اندیشه و خرد و داوری منطقی از طرف دیگر است....
ادامه مطلب...
اعداد چند ضلعی و اعداد اول
اعداد چند ضلعی عددهایی هستند، که با شکل چند ضلعیهای منتظم ارتباط ویژهای دارند. ارتباط ویژهای دارند. ابتدا به این جدول خوب دقت کنید:
خواص ریاضی اعداد چند ضلعی، با مطالعهی این اشکال کشف شدهاند. بحث در
مورد عددهایی که به صورت چند ضلعی هستند، شیرین اما مفصل است. ما در اینجا
سعی می کنیم. باعددهای چند ضلعی آشنا شویم ، و در مورد برخی از آنها نیز
فقط به یک خاصیت اشاره کنیم.....
ادامه مطلب...
یک کاغذ را چند بار می توان تا کرد؟
این مسیله را همه ما تجربه کرده ایم اما شاید هیچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده باشیم.
اگر ورق را هر بار طوری تا کنید که اندازه آن نصف شود بیش از ۷ یا ۸ بار
نمی توانید آن را تا کنید. مهم نیست ورق اولیه شما چقدر بزرگ باشد. شاید
تا به حال این قضیه را شنیده باشید و سعی کرده باشید که آن را امتحان کنید
و متوجه شده باشید که تا کردن کاغذ بیش از۷ یا ۸ بار بسیار سخت است. آیا
می توان گفت که این اعداد یک محدودیت مستدل و عمومی برای تا کردن کاغذ
هستند؟
فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده اید که دارای پهنای w و ضخامت t است .
اگر شما شروع به تا کردن ورق از یک سمت بکنید وقتی به جایی برسید که دیگر
نتوانید کاغذ را تا کنید یک نوار باریک خواهید داشت.
با هر تا کردن ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. یعنی
بعد از N بار تا کردن ضخامت ۲n خواهد بود و البته مشخص است که پهنا ۰.۵n
می شود
اگر با کاغذی به پهنای ۱۱cm و ضخامت ۰.۰۰۲cm این کار را انجام دهید بعد از
۷ بار تا کردن نسبت t/w برابر ۱/۶ می شود. این بدان معنیست که اندازه
ضخامت از پهنا بیشتر می شود و در نتیجه دیگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهید
بود. اگر این کاغذ را ۵۰ بار بزرگتر کنید شاید بتوانید آن را تا ۱۰ بار هم
تا کنید.
اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات
بیشتری بتوانید به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو
برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه یک بار نصف می شود.
چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این
مسیله رو به رو شد که چگونه کاغذی را ۱۲ بار تا کند . او باید برای گرفتن
نمره از یکی از کلاسهایش این مسیله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه های
مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را ۱۲ بار تا کند. اما مسیله طرح
شده در باره کاغذ بود و نه طلا.
گالیوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار کرد.
که در آن L کمترین درازای کاغذ، t میزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L باید یکسان باشد.
برای یک طول و ضخامت معین عبارت *******بیانگر آن است که صفحه بعد از n
بار تا کردن چند برابر کوچک شده است. با n=۰ شروع می کنیم و به همین ترتیب
به رشته ای از اعداد به این صورت می رسیم:
این به این معنی است که در تای دوازدهم ۲۷۹۸۲۵۰ برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.
گالیوان در کتابی با نام ((Historical Society of Pomona Valley)) چگونگی
به دست آوردن این معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضیح داده است. بالاخره
در June ۲۰۰۲ گالیوان یک کاغذ بزرگ را ۱۲بار تا کرد.
راستی اگر از دید دیگری مسیله را نگاه کنیم باز هم جالب خواهد بود. منظورم
این است که اگر تا کردن کاغذ را با ارتفاع بسنجیم بعد از ۱۰ بار تا کردن
ضخامت کاغذ بدست آمده ۱۰۲۴ برابر حالت اولیه می شود و در مرحله ۱۱ ام۲۰۴۸
و در مرحله ۱۲ ام ۴۰۹۶
یعنی در مرحله دوازدهم باید ۴۰۹۶ برگ را تا کنیم که ضخامتی برابر با حدود ۵۰ سانتی متر که کار خیلی دشوار و تقریبا ناممکن است.
۰, ۱, ۴, ۱۴, ۵۰, ۱۸۶, ۷۱۴, ۲۷۹۴, ۱۱۰۵۰, ۴۳۹۴۶, ۱۷۵۲۷۴, ۷۰۰۰۷۴, ۲۷۹۸۲۵۰, . . .
آیا صفر یعنی هیچ؟
آرام در کنار آنها نشستم و با علامت دست خواهش کردم بحث خود را ادامه دهند. سه نفر بودند ؛ توکا ، کبوتر و آرش … کبوتر با هیجان و اندکی خشم گفت: - هر چیزی را که نمی شود معنا کرد؛ “بالا” یعنی بالا و “پایین” یعنی پایین. بعد سرش را به طرف توکا برگرداند و گفت: - سرت را بالا بگیر . توکا از روی صندلی بلندشد، ایستاد و سرش را به طرف آسمان گرفت. – حالا ، آرش ، تو سرت را پایین بگیر. آرش بلند شد، کف دو دستش را روی زمین گذاشت و با حرکتی تند، تلاش کرد پاهایش را به طرف آسمان ببرد و روی دو دست خود بایستد ( مثل کسانی که آکروبات می کنند) ولی نتوانست و از سمت دیگر افتاد و پشتش محکم به زمین خورد. فریادی کشید و گفت: - چه کار سختی ؟ من نمی توانم . ولی کبوتر خشمگین تر به او گفت: - چرا خودت را به سادگی می زنی؟ همان جور که روی دو پایت ایستاده ای ، می توانی سرت را “بالا” بگیری؛ به طرف آسمان .( و ادامه داد) می بینید، “بالا” یعنی به طرف آسمان و طرف ستارگان و “پایین” یعنی به طرف زمین . این را همه می فهمند.
آرش زمزمه کرد: -
ولی آسمان و ستارگان ، فقط “بالا” نیستند؛ حتی در “پایین” هم ، آسمان و
ستاره است. پس به نظر تو “بالا” یعنی جایی که می تواند”پایین” یا “سمت
راست” یا “سمت چپ” یا “روبه رو” و “پشت سرهم” باشد؟ توکا دخالت کرد: -
“پایین” جایی است که همه چیز به طرف آن می افتد. کبوتر پذیرفت . ولی توکا
ادامه داد: - پس آن طور که خیال می کنیم، نمی توان گفت :”بالا” یعنی بالا
و “پایین” یعنی پایین . هر چیزی نیاز به تعریف دارد. ولی آرش موضوع را
پیچیده تر کرد: - این درست! ما در ایران که در نیمکره شمالی هستیم، با
آنها که از جمله در استرالیا ، یعنی نیمکره جنوبی هستند، در دو جهت مختلف
ایستاده ایم ؛ “پایین” برای ما و برای آنها در دو جهت مخالف است. نمونه
دیگری بیاوریم که در گفت و گوهای معمولی واژه های”بالا” و “پایین” معناهای
دیگری هم دارند:”بالاتر از چهار راه” ، “پایین تر از فلان خیابان”.
این جا دیگر “بالا” و “پایین” به آن مفهومی که گفتیم، معنا نمی دهند . در
ضمن ، اگر به کسی نشانی منزل خود را این طور بدهید:”پایین تر از چهارراه A
و بالاتر از مغازه B ” ، در واقع او را سرگردان کرده اید. چهار خیابان یا
کوچه در چهار راه A به هم می رسند؛ کدام طرف را بالا و کدام طرف را بالا و
کدام طرف را پایین می دانید؟ … به هر حال ، برای درک آن در نظر گرفت .
توکا گفت: من حرف دیگری دارم. – وقتی در هوای سرد زمستان ، نفس خود را
بیرون می دهید، بخار آبی که از دهان شما خارج می شود، به طرف زمین نمی
رود. وقتی کتری یا سماور می جوشد، باز هم بخار آب در جهت عکس می رود و به
زمین نمی رسد. درست است که من گفتم :”پایین جایی است که همه چیز به طرف آن
می افتد”؛ ولی مگر بخار آب جزو “همه چیز ” نیست؟ این مشکل را چگونه حل
کنیم؟ کبوتر می اندیشید … بعد سرش را بالا گرفت و گفت: - مشکل دیگری هم
هست .
من در یک فیلم که به یک سفینه واقعی فضایی مربوط بود، دیدم چیزی به طرف کف فضا پیما نمی افتد، همه چیز در هوا معلق می شود. نمی دانم در این باره چه بگویم؟ در آن “بالا” کجاست و “پایین” کجا؟ آرش دخالت کرد: - آن نقطه “صفر” است، مرز پایین و بالا است. نه بالایی وجود دارد و نه پایینی . کبوتر و توکا هر دو اعتراض داشتند. –”صفر ” یعنی چه ؟ مگر “صفر” به معنای “هیچ” نیست؟ چیزی که “هیچ” است، یعنی وجود ندارد. مگر می شود داوری خود را بر پایه “چیزی” بگذاریم که وجود ندارد؟ - سکوت! هر سه نفر رو به من کردند. می خواستند مشکل آنها را حل کنم . پرسیدم: - شماها به چه چیزی “واقعی”می گویید؟ از کجا بفهمیم” چه چیزی وجود دارد و چه چیزی وجود ندارد”؟ کبوتر: - چیزی “وجود دارد” که قابل لمس باشد، بتوان آن را “حس کرد، “وجودی” مادی باشد یا بشود آن را “شنید” یا “بویید”. “صفر ” نه قابل لمس است، نه قابل شنیدن و نه قابل بوییدن. – درباره مفهومهایی مثل “عشق” ، “دوستی” ، “ک"
|
مثلث پنروز | |||||
|
سیل یک پستاندار دریایی گوشتخوار است . آن را دست آموز می کنند و در برخی از سیرکها برای نمایش بکار می گیرند . از سیل می خواهند که تا فلان عدد را بشمارد . سیل با چند بار دمیدن در یک بوق پاسخ درستی به این سوال می دهد.
به همین ترتیب دیده شده است که یک اسب آموزش دیده در پاسخ مربی خود که عددی را از حیوان می پرسد ، می تواند با کوبیدن های پی در پی پا بر زمین ، آن عدد را پر کند.
اگر کسی شاهد چنین صحنه هایی باشد شاید گمان برد که حیوانات قادرند اعداد ریاضی را بشمرند.
ولی حقیقت آن است که هیچیک از این حیوانات مفهوم عدد را درک نمی کند و از عهده شمردن آنها بر نمی آید. آنچه رخ می دهد این است که مثلا سیل یا اسب،پس از یک دوره آموزش یاد می گیرند که در چه موقع عملی را شروع و در چه هنگام آن را تمام کنند.از این رو با دریافت علامتی که به آنها یاد داده شده آن کار را آغاز میکنند و سپس با دریافت علامت دیگری از ادامه کار دست بر میدارند.
البته برخی حیوانات توانایی تشخیص اعداد کوچکتر را از اعداد بزرگتر دارند.ولی این به این معناست که اگر در برابر حیوان دو بسته غذا باشد حیوان ترجیح می دهد بسته بزرگتر را بردارد.
دانشمندان بر این باورند که برخی از پرندگان و حیوانات واقعا توان شمارش دارند.
در یک آزمایش با یک کبوتر چنین کردند:مرتبا در جلویش دانه نهادند(یعنی هر بار که دانه ای را برمی داشت ، دانه بعدی را در بشقابش می گذاشتند.کبوتر دانه ها را برمی داشت تا شش دانه ، اما دانه هفتم که به ته بشقاب چسبیده بود کبوتر را از برداشتنش منصرف کرد.
پس از این کبوتر همیشه تا دانه ششم را بر میداشت ولی دانه هفتم را نه.
دانشمندان به این نتیجه رسیدند که این گونه تشخیص ، خود حاکی از یک شمارش واقعی است.
زندگی، Game of Life، بازی ای است که روی یک صفحه چهارخانه نامتناهی انجام می شود. در هر زمان ( یا مرحله یا نسل ) بعضی از خانه ها یا سلول ها زنده و بعضی دیگر مرده هستند. اینکه در هنگام شروع بازی چه سلول هایی زنده باشند با شماست. اما بعد از آن شما کاری نخواهید داشت جز تماشای اتفاقات جالبی که می افتد. چرا که وضعیت هر سلول در هر زمان بوسیله قانون های زیر، از روی وضعیت آن در مرحله قبل تعیین می شود و زندگی ادامه پیدا می کند.
یک سلول زنده در نسل (مرحله) بعد به زندگی ادامه می دهد اگر دو یا سه همسایه زنده داشته باشد
سلول زنده ای که چهار تا یا بیشتر همسایه زنده داشته باشد بر اثر ازدیاد جمعیت خواهد مرد. همین طور سلول زنده ای که یکی یا کمتر همسایه زنده داشته باشد از تنهایی خواهد مرد.
در یک خانه خالی که دقیقا سه همسایه داشته باشد در نسل بعد یک سلول زنده متولد خواهد شد.
در زیر می توانید داستان زندگی یک موجود ساده را که از پنج سلول کنار هم ساخته شده است ببینید. در اینجا مثلا در مرحله دوم چهار سلولی که در گوشه های مربع هستند هر کدام سه همسایه دارند پس در نسل سوم زنده خواهند ماند. پنج سلول دیگر طبق قانون ازدیاد جمعیت خواهند مرد و ضمنا سه سلول جدید هم در نسل سوم طبق قانون تولد به دنیا می آیند:
همان طور که می بینید این موجود بالاخره به یک موجود متناوب تبدیل می شود یعنی حالت های هفتم وهشتم به تناوب تا ابد تکرار می شوند. حالا که قوانین بازی را یاد گرفتید می توانید با زدن دکمه زیر نسخه ای از Applet بازی را اجرا کنید و موجودات مختلفی بسازید.
در این Applet باکلیک کردن می توانید سلول ها را روشن و خاموش کنید. با زدن دکمه Go بازی شروع می شود. با تنظیم لیست کنار دکمه می توانید با هر بار زدن دکمه Go فقط یک نسل جلو بروید و یا اینکه تغییرات را به طور پیوسته ببینید. بوسیله دکمه Clear می توانید صفحه را پاک کنید و با دکمه Speed می توانید سرعت نمایش نسلها را معین کنید. ضمنا با زدن دکمه Open لیستی از موجوداتی که دیگران طراحی کرده اند پدیدار می شود و می توانید آنها را ببینید.
در مثال قبل یک موجود متناوب را دیدید، فکر می کنید موجودات پایدار هم وجود داشته باشند؟ یعنی موجوداتی که در طول همه نسلها تغییر شکل ندهند. جواب مثبت است در زیر می توانید تعدادی از این موجودات را ببینید:
این بازی را اولین بار John Conway ریاضیدان انگلیسی ابداع کرد. یکی از اولین موجوداتی که توجه او و دوستانش را جلب کرد، موجود کوچکی بود که راه می رفت. اسم این موجود را گلایدر گذاشتند.
بعدها علاقه مندان به این بازی سعی کردند موجودات متحرک بزرگتری را پیدا کنند. در Applet بالا می توانید نمونه های عالی ای را ببینید. شما هم می توانید سعی کنید و موجوداتی را که پیدا می کنید برای ما بفرستید.
بالاخره بعد از مدتی تب پیدا کردن موجودات عجیب و غریب آنقدر بالا گرفت که در اواسط دهه هشتاد که وقت محاسباتی کامپیوترها بسیار ارزشمند بود خیلی از دانشگاه های امریکا مجبور شدند قوانینی برای جلوگیری از استفاده دانشجویان از وقت کامپیوتر ها برای جستجوی موجودات پیچیده وضع کنند. اما تلاش ها همچنان ادامه پیدا کرد و همه جور موجودی، از انواع تولید کننده های گلایدر (Gun30.lif) گرفته تا موجودات فضاپرکن (Max.lif) موجودات متحرک خیلی بزرگ (َAqua40.lif) موجودات کوچکی که موجودات عجیبی تولید می کنند (Rpento.lif و Pi.lif) موجوداتی با قیافه های بامزه (Zip.lif و Twindots.lif و Tubtrax.lif) و کلی چیزهای بامزه دیگر پیدا شد و برای همه روشن شد که
زندگی خیلی بیش از آنچه از ابتدا فکر می کردند پیچیده و غیر قابل پیش بینی است.
شما هم اگر دوست داشته باشید می توانید به جمع جهانی این جستجو گران بپیوندید. پیشنهاد می کنم از آزمایش روی الگوهای ساده، مثلا یک ردیف افقی از سلول ها با تعداد مختلف شروع کنید.
|
به نام رسم كننده ي نمودار زندگي زندگي در درون خود نكته هايي دارد كه براي عمل به اين نكته ها بايد فرمول هايي راياد داشت كه براي پيدا كردن فرمول مناسب بايد توجهات را مد نظر قرار داد كه در كنار اين توجهات يادآوري هانيز به ما چشمك مي زنند كه اين چشمك ها موجب ديدن نتايج عمل كردن به اين نكته ها مي شود كه اين نتايج خود همراه با تبصره هايي هستند كه اين تبصره ها... اگر بخواهي روزي از مشكلاتت جذ ر بگيري و آنها را بر 10 به توان nتقسيم كني ياد من باش كه من هميشه سعي كردم كه خوشي هايم را به توان n برسانم تا بتوانم از مشكلاتم كه در برابر آن مانند اپسيلوني است چشم پوشي كنم و گاهي آرزو هايم را يكي يكي با هم جمع كردم و يكي يكي از آنها مشتق گرفتم ومساوي صفر قرار دادم تا بتوانم از درون آن جوابي براي خود پيدا كنم و x و y را بيابم كه راه رسيدن به آرزوهايم باشد و اميدوارم هيچ گاه y ام مساوي صفر نباشد كه هنگامي كه آن را در معادله بگذارم ببينم كه x ام هم صفر مي شود و هيچ راهي براي رسيدن به آرزوهايم ندارم. هدف هايم را در هم ضرب كردم ومنهاي هوس هاي جواني ام كردم تا به جوابي برسم كه نه از مجانبي عبا داشته باشم كه نكند به آن برخورد كنم و نه به دنبال نقطه ي عطف خود باشم و يك راست به سمت جدول مختصات بروم و خودم را رسم كنم خودم را به صورت منحني اي مانند منحني sin رسم كنم كه قابليت انعطاف و انتقاد داشته باشم كه با يك انتقاد يكدفعه خودم را در 0› ∆ نبينم كه راه به سويي نداشته باشم و معادله ام بي جواب بماند پس سعي خودم را مي كنم كه هميشه نقطه ي ماكزيمم منحني باشم. |
جدول سودوکو
در سالهای گذشته این جدول کاربرد عمومی خود را برای سرگرمی پیدا کرده و خیلی ها را به خود معتاد کرده است. این روزها سودوکو سرگرمی بسیاری از مردم جهان شده است، کتاب های مجموعه این جدول ها نیز در نشریات کشورهای مختلف به چاپ می رسد و بسیاری از روزنامه های مترویی در کشور های غربی جدول سودوکو را در صفحات سرگرمی خود گنجانده اند.
● تاریخچه
سودوکو یا سادوکو مخفف عبارت ژاپنی “Suuji wa dokushin ni kagiru” به معنی عدد های بی تکرار است و نوعی جدول اعداد است که امروزه یکی از سرگرمی های رایج در کشورهای مختلف جهان بشمار می آید. سودوکو فقط یکی از نامهای این بازی است. در آمریکا این بازی به نام “number place “مشهور است. گفته می شود که این بازی ریشه در چین باستان دارد و در قرن ۱۷ میلادی به اتریش برده شد و بعد از آن به بقیه اروپا و آمریکا راه پیدا کرده، بعد از گذشت زمان های طولانی در دهه ی۸۰ میلادی در مجله های تفریحی ظاهر شد. اما در جایی دیگر نیز آمده است که نخستین جدول سودوکو را یک ریاضیدان اروپایی در قرن هجدهم طراحی کرده است .
در سالهای گذشته این جدول کاربرد عمومی خود را برای سرگرمی پیدا کرده و خیلی ها را به خود معتاد کرده است. این روزها سودوکو سرگرمی بسیاری از مردم جهان شده است، کتاب های مجموعه این جدول ها نیز در نشریات کشورهای مختلف به چاپ می رسد و بسیاری از روزنامه های مترویی در کشور های غربی جدول سودوکو را در صفحات سرگرمی خود گنجانده اند. میزان محبوبیت این بازی رو به گسترش به میزانی است که نسخه های نرم افزاری این بازی برای تلفن های همراه رواج پیدا کرده و حتی مسابقه های تلویزیونی حل سودوکو در کوتاه ترین زمان ممکن به راه افتاده است. این بازی در نمایشگاه بین المللی بازی و سرگرمی آلمان به عنوان محبوب ترین و پرطرفدارترین بازی شناخته شده است و همچنین قانون بسیار ساده و روشنی دارد .
● قوانین بازی
سودوکو انواع مختلف ساده ، متوسط ، دشوار و خیلی دشوار دارد و بسته به تعداد خانه های خالی دشوارتر می شود. بازی سودوکو را از سه جنبه می توان طبقه بندی نمود. یکی از این جنبه ها مرتبط است با ساختار فیزیکی جدول و تعداد خانه های آن که حالات متفاوتی را در بر می گیرد. مورد دیگر با اعمال قوانین مختلف در بعضی از جداول گوناگون، البته بدون تغییر در قوانین پایه ای و بنیادین این بازی در ارتباط می باشد. در نهایت جنبه سوم رتبه بندی این بازی از درجه آسان تا دشوار می باشد .
نوع متداول سودوکو در واقع نوعی جدول است که از ۹ ستون عمودی و ۹ ستون افقی تشکیل شده و کل جدول هم به ۹ بخش کوچکتر تقسیم میشود .
حالا شما باید اعداد ۱ تا ۹ را در هر یک از جدول های کوچکتر بدون تکرار بنویسید، به صورتی که در هر ستون بزرگتر افقی یا عمودی هیچ عددی تکرار نشود . در واقع هم باید از تمام اعداد ۱ تا ۹ در همه ستون های عمودی و افقی استفاده کنید و هم باید مراقب باشید هیچ عددی تکرار نشود و در همه مربع های ۳ ستونی کوچکتر نیز به همین ترتیب همه اعداد ۱ تا ۹ بیاید و تکرار نشود. همیشه به عنوان راهنمایی چند عدد در جدول از قبل مشخص میشود تا بقیه اعداد را شما پیدا کنید .
● روش حل :
ابتدا در تمام خانه های خالی جدول، اعداد را از یک تا نه می نویسیم .
سپس به سراغ یکی از اعدادی که از قبل توسط طراح نوشته شده می رویم و تمام اعداد مشابه آن را که در عرضش (بصورت افقی )قرار گرفته اند را پاک می کنیم و سپس یک خط افقی در بالای آن عدد می کشیم که مشخص باشد .
در این مرحله همانند مرحله قبل عمل می کنیم با این اختلاف که در تمام خانه های عمودی در بالا یا پایین عدد مورد نظر اعداد مشابه را پاک می کنیم وسپس با یک خط عمودی در کنار آن عدد آن را مشخص می نماییم .
اکنون باید اعداد مشابه عدد مورد نظر را در مربع نه خانه ای متناظر، پاک کنیم وعدد را با یک دایره بر دور آن مشخص کنیم .
فقط سه مرحله قبلی را در مورد تمام اعداد از قبل نوشته شده (اعداد چاپی) تکرار کنیم و کشیدن خطهای عمودی افقی و دایره را بر آن عددها نباید فراموش کنیم که این عمل می تواند به شما نشان دهد که کدام یک از قلم افتاده است .
وقتی که تمام اعداد چاپی با هر سه علامت مشخص شد کار ما تا این مرحله تمام شده است .
در این مرحله به دنبال خانه هایی می گردیم که فقط یک عدد در آنها باقی مانده و آن اعداد را پررنگ می کنیم .
ما باید در هر ستون نیز عددی را که فقط یکبار درآن ستون آمده را پیدا کنیم که این عدد یقینا جواب همان خانه است و این عدد را هم پررنگ کنیم .
اکنون در هر مربع نه خانه ای عددی را که فقط یکبار در این نه خانه آمده است را یافته و به عنوان جواب یادداشت می کنیم
مرکز ریاضیات
http://www.articles.ir/
شش عدد بر كل جهان حاكم است كه از زمان انفجار بزرگ شكل گرفته اند. اگر هر كدام از این اعداد با مقدار فعلی آن كمی فرق داشت، هیچ ستاره، سیاره یا انسانی در جهان وجود نداشت. قوانین ریاضی عامل تحكیم ساختار جهان است
این متن خلاصه مقاله پروفسور سرمارتین ریس، یكی از پیشگامان كیهان شناسی در جهان است. وی استاد تحقیقات انجمن سلطنتی در دانشگاه كمبریج و دارای عنوان اخترشناس سلطنتی است. در عین حال وی عضو انجمن سلطنتی، آكادمی ملی علوم ایالات متحده و آكادمی علوم روسیه است. وی ضمن مشاركت با چندین همكار بین المللی ایده های بسیار مهمی در مورد سیاهچاله ها، تشكیل كهكشان ها و اخترفیزیك انرژی بالا داشته است.
شش عدد بر كل جهان حاكم است كه از زمان انفجار بزرگ شكل گرفته اند. اگر هر كدام از این اعداد با مقدار فعلی آن كمی فرق داشت، هیچ ستاره، سیاره یا انسانی در جهان وجود نداشت. قوانین ریاضی عامل تحكیم ساختار جهان است.
این قاعده فقط شامل اتم ها نمی شود، بلكه كهكشان ها، ستاره ها و انسان ها را نیز در برمی گیرد. خواص اتم ها ـ از جمله اندازه و جرمشان، انواع مختلفی كه از آنها وجود دارد و نیروهایی كه آنها را به یكدیگر متصل می كند ـ عامل تعیین كننده ماهیت شیمیایی جهانی است كه در آن به سر می بریم. تعداد بسیار اتم ها به نیروها و ذرات داخل آنها بستگی دارد. اجرامی را كه اخترشناسان مورد بررسی قرار می دهند ـ سیارات، ستارگان و كهكشان ها ـ توسط نیروی گرانش كنترل می شوند و همه این موارد در جهان در حال گسترشی روی می دهد كه خواصش در لحظه انفجار بزرگ اولیه(Bigbang) در آن تثبیت شده است.
علم با تشخیص نظم و الگوهای موجود در طبیعت پیشرفت می كند، بنابراین پدیده های هر چه بیشتری را می توان در دسته ها و قوانین عام گنجاند. نظریه پردازان در تلاشند اساس قوانین فیزیكی را در مجموعه های منظمی از روابط و چند عدد خلاصه كنند. هنوز هم تا پایان كار راه زیادی باقیمانده است، اما پیشرفت های به دست آمده نیز چشمگیرند.
در آغاز قرن بیست و یكم، شش عدد معرفی شدند كه به نظر می رسد از اهمیت فوق العاده ای برخوردارند. دو تا از این اعداد به نیروهای اساسی مربوط می شوند؛ دو تای دیگر اندازه و «ساختار» نهایی جهان ما را تثبیت می كند و بیانگر آن هستند كه آیا جهان برای همیشه امتداد می یابد یا خیر؛ و دو عدد باقیمانده بیانگر خواص خود فضا هستند. این شش عدد با یكدیگر« نسخه»ای را برای جهان تشكیل می دهند.
گذشته از این جهان نسبت به مقدار این شش عدد بسیار حساس است: اگر یكی از این اعداد تنظیم نشده باشد، آن وقت نه ستاره ای در جهان وجود می داشت و نه حیاتی. سه تا از این اعداد (كه به جهان در مقیاس بزرگ وابسته است) به تازگی با دقت زیاد اندازه گیری شده است. سر برآوردن حیات انسان در سیاره زمین حدود ۵/۴ ۵.۶ میلیارد سال به درازا كشیده است. حتی پیش از آنكه خورشید ما و سیارات گرداگرد آن تشكیل شوند، ستاره های قدیمی تر، هیدروژن را به كربن، اكسیژن و دیگر اتم های جدول تناوبی تبدیل می كردند. این فرآیند حدود ده میلیارد سال به درازا كشیده است. اندازه جهان قابل مشاهده تقریباً برابر فاصله ای است كه نور بعد از انفجار بزرگ پیموده است بنابراین این جهان قابل مشاهده كنونی باید بیش از ۱۰ میلیارد سال نوری وسعت داشته باشد.(X=Ct ,t=۱*۳۶۰۰*۲۴*۳۶۵,C=۳*۱۰^۸)
بسیاری از مناقاشات پردامنه و طولانی مباحث كیهان شناختی امروزه دیگر پایان یافته، و در مورد بسیاری از مواردی كه پیش از این موضوع بحث بودند، دیگر مناظره ای صورت نمی گیرد. اینشتین در یكی از مشهورترین كلمات قصار خود می گوید: «غیرقابل درك ترین چیز در مورد جهان، قابل درك بودن آن است.» وی در این عبارت بر شگفتی خود در مورد قوانین فیزیك كه ذهن ما نسبتاً با آنها خو گرفته و تا حدودی با آنها آشناست تاكید می كند، قوانینی كه نه فقط در روی زمین بلكه در دوردست ترین كهكشان ها هم مصداق دارد. نیوتن به ما آموخت همان نیرویی كه سیب را به سمت زمین می كشد، ماه و سیارات را در مدار خود به گردش در می آورد. هم اكنون می دانیم همین نیروست كه عامل تشكیل كهكشان ها است و همین نیروست كه باعث می شود ستاره ها به سیاهچاله تبدیل شوند.
قوانین فیزیكی و هندسه ممكن است در جهان های دیگر متفاوت باشد. چیزی كه جهان ما را از سایر جهان ها متمایز می كند ممكن است همین شش عدد باشد.
۱- عدد كیهانی امگا نشان دهنده مقدار ماده ـ كهكشان ها، گازهای پراكنده و «ماده تاریك» ـ در جهان ماست. امگا اهمیت نسبی گرانش و انرژی انبساط در جهان را به ما ارائه می دهد جهانی كه امگای آن بسیار بزرگ است، بایستی مدت ها پیش از این درهم فرورفته باشد، و در جهانی كه امگای آن بسیار كوچك است، هیچ كهكشانی تشكیل نمی شود. تئوری تورم انفجار بزرگ می گوید، امگا باید یك باشد؛ هر چند اخترشناسان درصددند مقدار دقیق آن را اندازه بگیرند.
۲- اپسیلون بیانگر آن است كه هسته های اتمی با چه شدتی به یكدیگر متصل شده اند و چگونه تمامی اتم های موجود در زمین شكل گرفته اند. مقدار اپسیلون انرژی ساطع شده از خورشید را كنترل می كند و از آن حساس تر اینكه، چگونه ستارگان، هیدروژن را به تمامی اتم های جدول تناوبی تبدیل می كنند، به دلیل فرآیندهایی كه در ستارگان روی می دهد، كربن و اكسیژن عناصر مهمی محسوب می شوند ولی طلا و اورانیوم كمیاب هستند. اگر مقدار اپسیلون ۰۰۶/ یا ۰۰۸/ بود ما وجود نداشتیم. عدد كیهانی e تولید عناصری را كه باعث ایجاد حیات می شوند ـ كربن، اكسیژن، آهن و… یا سایر انواع كه باعث ایجاد جهانی عقیم می شود را كنترل می كند.
۳- اولین عدد مهم تعداد ابعاد فضا است. ما در جهانی سه بعدی زندگی می كنیم. اگر D برابر دو یا چهار بود امكان تشكیل حیات وجود نداشت. البته زمان را می توان بعد چهارم فرض كرد، اما باید در نظر داشت بعد چهارم از لحاظ ماهیت با سایر ابعاد تفاوت اساسی دارد چرا كه این بعد همانند تیری رو به جلو است، ما فقط می توانیم به سوی آینده حركت كنیم.
۴- چرا جهان پیرامون این چنین وسیع است كه در طبیعت عدد مهم و بسیار بزرگی وجود دارد. N نشان دهنده نسبت میان نیروی الكتریكی است كه اتم ها را كنار یكدیگر نگاه می دارد و نیروی گرانشی میان آنهاست. اگر این عدد فقط چند صفر كمتر می داشت، فقط جهان های مینیاتوری كوچك و با طول عمر كم می توانست به وجود آید. هیچ موجود بزرگ تر از حشره نمی توانست به وجود آید و زمان كافی برای آنكه حیات هوشمند به تكامل برسد در اختیار نبود.
۵- هسته اولیه تمام ساختارهای كیهانی ـ ستاره ها، كهكشان ها و خوشه های كهكشانی ـ در انفجار بزرگ اولیه تثبیت شده است. ساختار یا ماهیت جهان به عدد Q كه نسبت دو انرژی بنیادین است، بستگی دارد. اگر Q كمی كوچك تر از این عدد بود جهان بدون ساختار بود و اگر Q كمی بزرگ تر بود، جهان جایی بسیار عجیب و غریب به نظر می رسید، چرا كه تحت سیطره سیاهچاله ها قرار داشت.
۶- اندازه گیری عدد لاندا در بین این شش عدد، مهم ترین خبر علمی سال ۱۹۹۸ بود، اگرچه مقدار دقیق آن هنوز هم در پرده ابهام قرار دارد. یك نیروی جدید نامشخص ـ نیروی «ضدگرانش» كیهانی ـ میزان انبساط جهان را كنترل می كند. خوشبختانه عدد لاندا بسیار كوچك است. در غیر این صورت در اثر این نیرو از تشكیل ستارگان و كهكشان ها ممانعت به عمل می آمد و تكامل كیهانی حتی پیش از آنكه بتواند آغاز شود، سركوب می شد
حامد پارسا
رنگین کمان
http://www.articles.ir/
|
قضیه کوچک فرما: اگر p عددی اول و b عدد دلخواهی باشد که p و b نسبت به هم اول باشند، آن گاه باقیمانده تقسیم |
|
قضیه کوچک فرما: اگر p عددی اول و b عدد دلخواهی باشد که p و b نسبت به هم اول باشند، آن گاه باقیمانده تقسیم |
|
سال پیش از این G. H. Hardy نظریه اعداددان بزرگ در دفاعیه یک ریاضیدان نوشت: «ریاضیات واقعی ریاضیدانان واقعی، ریاضیات فرما، اویلر، گاوس و ریمان تقریبا به طور کامل بیفایده است. توجیه زندگی هیچ ریاضیدان حرفهای اصیل بر مبنای سودمندی کارش ممکن نیست».
|
شکار اعداد اول
یکی از اولین و در عین حال درخشانترین کارهای بشر در نظریه اعداد، اثبات اقلیدس از نامتناهی بودن اعداد اول در کتاب اصول است که امروزه می توان آن را در کتاب های درسی دبیرستانی خواند. نمونه ای عالی از زیبایی و سادگی ریاضیات. یونانی ها اعداد اول را می شناختند و از نقش آن ها به عنوان بلوک های سازنده دیگر اعداد آگاه بودند. بعد از این دستاوردهای بزرگ طبیعی ترین سوالی که به ذهن بشر رسید این بود که چه نظمی بر دنباله اعداد اول حاکم است، چگونه می توان اعداد اول را یافت و چطور می توان اعدادی را که اول نیستند به عوامل اول شان تجزیه کرد. شاید اولین پاسخ به این سوال غربال اراتستن بوده باشد. تا امروز تلاش های زیادی برای یافتن یک فرمول تولید کننده اعداد اول و یا الگویی برای ظهور اعداد اول در میان دیگر اعداد انجام شده است که هر چند کمک های زیادی به گسترش نظریه اعداد کرده اند اما ساختار پیچیده اعداد اول همچنان در مقابل این تلاش ها مقاومت می کند.
جستجو برای الگوهایی از نظم در اعداد اول
یک نمونه ساده: ۳۱-۳۳۱-۳۳۳۱-۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۳۱ همه اولند اما ۳۳۳۳۳۳۳۳۱ حاصلضرب دو عدد اول ۱۷ و ۱۹۶۰۷۸۴۳ است.
اعداد اول مرسن: اگر p اول باشد اعدادی به شکل ۲p-۱ را عدد مرسن میگوییم. اگر این اعداد اول باشند به آن ها عدد اول مرسن می گوییم. به ازای p برابر ۲ و ۳ و ۵ و ۷ عدد مرسن اول است اما اگر p را ۱۱ بگیریم مرکب است. تا امروز ۳۹ عدد اول مرسن شناخته شده اند که آخرینشان به ازای p=۱۳۴۶۶۹۱۷ به دست میآید و ۴۰۵۳۹۴۶ رقم دارد. یعنی بین همه اعداد اول کوچکتر از ۱۳۴۶۶۹۱۷ تنها ۳۹ تا عدد اول مرسن تولید می کنند.
اعداد اول دوقلو: به اعداد اولی که پشت سر هم هستند اعداد اول دوقلو می گوییم مثلا ۳ و ۵ و یا ۱۱ و ۱۳. هیچ کس نمی داند که پراکندگی این اعداد در میان سایر اعداد چگونه است و آیا تعداشان متناهی است یا نه بزگترین جفت شناخته شده ۱-۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ و ۱+۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ هستند.
برای پیدا کردن اطلاعاتی راجع به جستجوی اعداد اول می توانید به سایت پروژه GIMPS سر بزنید.
در نظر گذشتگان آزمایش اول بودن یک عدد و یافتن عوامل اول آن یک سوال بودند. کافی بودن عدد مورد نظر را به ترتیب به همه اعداد کوچکتر از آن تقسیم کنیم. اگر به هیچ کدام بخشپذیر نبود اول است و اگر بخشپذیر بود به این ترتیب عوامل اول آن معلوم می شوند. کم کم این فرایند ساده تر شد، مثلا حالا می دانیم که تقسیم کردن به همه اعداد کوچکتر از جذر عدد مورد نظر کافیست ( چرا؟ )، همچنین در صورتیکه اعداد اول کوچکتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند، تقسیم کردن به این اعداد کافیست. این روش ها برای اعداد نسبتا کوچک کار می کنند اما وقتی با عددی مثلا ۱۰۰ رقمی طرف باشیم اوضاع فرق می کند. حتی با سریع ترین کامپیوترها هم تقسیم کردن یک عدد ۱۰۰ رقمی به همه اعداد کوچکتر از آن خیلی بیشتر از عمر عالم طول می کشد.
یک محاسبه سرانگشتی
فرض کنید بخواهیم یک عدد ۱۰۰ رقمی را به همه اعداد کوچکتر از خودش تقسیم کنیم. برای این کار باید حدود ۱۰۹۹ تقسیم انجام دهیم اگر کامپیوتر ما بتواند در هر ثانیه ۱۰۰۰ میلیارد یعنی ۱۰۱۲ تقسیم انجام دهد برای انجام کل کار ۱۰۸۷ ثانیه وقت لازم است.
یک سال ۲۴×۳۶۰۰×۳۶۵=۳۱۵۳۶۰۰۰ ثانیه است یعنی حدود ۱۰۸ ثانیه و این یعنی کار ما ۱۰۷۹ سال طول خواهد کشید. عمر عالم دست بالا ۱۵ میلیارد سال تخمین زده می شود. حتی یک دهم یا یک صدم یا یک هزارم این محاسبه هم غیر قابل انجام است.
حوالی قرن هفدهم توجه ریاضیدانان به این نکته جلب شد که شاید راه های ساده تری برای آزمایش اول بودن یا نبودن یک عدد وجود داشته باشد چرا که روش تقسیم مقدار زیادی اطلاعات اضافی ( لیست عوامل اول، وقتی که جواب سوال منفی است ) تولید می کند که برای پاسخ گفتن به این سوال نیازی به آن ها نیست. فرما مدتی بعد نشان داد که این حدس صحیح بوده است. فرما (۱۶۰۱-۱۶۶۵) قضیه ای را ثابت کرد که تا امروز اساس همه روش های آزمایش اول بودن اعداد است و ما آن را با نام قضیه کوچک فرما می شناسیم.
قضیه کوچک فرما: اگر p عددی اول و b عدد دلخواهی باشد که p و b نسبت به هم اول باشند، آن گاه باقیمانده تقسیم
بنابراین برای اینکه بدانیم عددی مثل a اول است یا نه کافیست عدد دلخواهی مثل b که نسبت به a اول باشد انتخاب کنیم و باقیمانده تقسیم
تنها مشکلی که وجود دارد این است که از آنجا که عکس قضیه فرما لزوما درست نیست - یعنی ممکن است بعضی از اعداد مرکب هم این خاصیت را داشته باشند - اگر باقیمانده b باشد نمی توان در مورد اول بودن یا نبودن a اظهارنظری کرد. این مشکل هم ۳۰۰ سال بعد در تابستان ۲۰۰۲ بوسیله سه ریاضیدان هندی به نامهای Agrawal، Kayal و Saxena حل شد و حالا می توانیم در کسری از ثانیه در مورد اول بودن عددی با ۱۰۰ رقم اظهارنظر کنیم.
|
| |||||||||||
| |||||||||||
|
به نام خدا رياضيات مثل هر دانش ديگري زنده است و همچون موجودي زنده هرگز در جاي خود نمي ايستد و مي تواند تا مرز هاي بي نهايت پيش رود كه انسان امروزي تصور انها را هم در ذهن خود نمي تواند داشته باشد. استقراء استقراء شكلي از تعميم است كه براساس نتيجه گيري از مشاهده ها و ازمايشهاي معيني بدست امده باشد. استقراء به طور معمول با تجزيه و تحليل و مقايسه و مشاهده است آغاز مي شود. سپس نتيجه حدس زده شده درباره پديده هاي مشابه تحقيق مي شود و بعد از مشاهده ها و آزمايشها ي زيادي پذيرفته مي شود كه اين قانون يا رابطه براي همه حالتها مشابه درست است . روش استقراء روش مناسب در حل برخي از مسائل رياضي مخصوصا رياضيات محاسبه اي مي باشد. اصل استقراء رياضي هرگاه (1) p ارزش درست داشته باشد(حكم جزئي). و با قبول درستي (k ) p (حكم جزئي) بتوان درستي (1+ k ) p را ثابت نمود. انگاه مي توان پذيرفت كه همه اعداد طبيعي خاصيت p را دارند. در اين روش دو مرحله را مي توان در نظر گرفت: مرحله اول: اثبات درستي (1) p كه ان را ابتدا ي استقراء مي نامند مرحله دوم: فرض مي كنيم ( k ) p درسا باشد كه ان را فرض استقراء مي ناميم و با استفاده از ان ثابت مي كنيم )1+k) p درست است كه ان را حـكم اســتـقراء مي نامند. دقت داشته باشيد كه روش استقراء را مي توان براي مسائلي استفاده كرد كه: الف:در مسئله كميت مطرح باشد نه كيفيت ب: با اعداد طبيعي يا اعداد صحيح سرو كار داشته باشيم ج:در انتخاب مبناي استقراء يعني گام اول دقت كرد و بعد گامهاي بعدي يعني گذر از k به1+ k را برداشت. د: البته مسئله هايي وجود دارند از جمله قضيه فرما كه اگر چه با اعداد طبيعي سروكار داريم اما با استقراء رياضي حل نمي شود. مثال: ثابت كنيد به ازاءهر عدد طبيعي مانند a دو عدد طبيعي مانند k و L هست به طوري كه: a=3k-5L دو عدد طبيعي مانند k و L هست به طوري كه با در نظر گرفتن 2= k و 1= Lمعلوم مي شود ابتداي استقراء برقرار است. حل: فرض استقراء: دو عدد طبيعي مانند k و Lوجود دارند به طوري كه -5L m =3k حكم استقراء: دو عدد طبيعي مانند ` k و` L وجود دارند به طوري كه ` L `+5 k m+1 =3 اثبات: m =3k+5L
1 = 3(2)- 5(1) m + 1 =3 (k+2)-5(L+1) با در نظر گرفتن k+2 `= k و `= L+1 L معلوم مي شود كه حكم استقراءبرقرار است.
اعداد اول به اعدادي ؛ اعداد اول مي گويند كه: اولا تجذيه ناپذير باشند ثانيا اعدادي كه فقط بر يك و خودشان بخش پذيرند ثالثا اعدادي كه هيچ مقسوم عليه اول و كوچكتر يا برابر با جذرش نداشته باشند. عدم وجود فرمولي ساده براي اعداد اول دليلي براي پراكندگي و نا مرتب بودن انهاست. در نظريه اعداد ثابت مي شود كه اگر 1 n ¹ مفروض باشند و هيچ مقسوم عليه اول و كوچكتر يا برابر جذرش نداشته با شند انگاه n عددي اول است . براي درك بيشتر به مثال زير توجه كنيد: |
ابوريحان بيروني وحساب دانه هاي گندم
خانه هاي شطرنج
دركتب تواريخ اسلامي چنين نقل كرده اند كه يكي از پادشاهان محلي هندبه نام شرام مردي سفاك وظلم پيشه بود ودراند ك مدتي براثرسوء سياست و بي خردي مملكتش دستخوش فقرو
رعايايش قرين تيره روزي شدند. برهمنان ان ديار براي رهايي ازاين مصيبت به فكرچاره
افتادند. عاقبت يكي ازايشان كه سمسانام داشت بازي شطرنج رااختراع كرد وبه حضورشاه
برد وبد وفهماند كه شاه شطرنج با انكه مهمترين مهره بازي است بي د ستياري مهره هاي
ديگرنميتواند به حركتي مبادرت كند واگرمعاونت سايرمهره ها نباشد هرحركتي كه اوناشي شود مذ بوح ومنجربه هلاكت است.
پادشاه را اين بازي فوق العاده مسروركرد وبه برهمن وعده داد كه رفتارخود راعوض كند
وبه پاداش اين اختراع شگرف هرچه بخواهد به اوبدهدبرهمن كه ميخواست پادشاه رادرس
ديگري درباب احتياط وميانه روي بياموزد گفت تنها پاداشي كه متوقعم اين است كه پاد شاه
امرفرمايد كه گماشتگان درخانه ي اول شطرنج يك دانه ي گندم بگذارند ودرخانه ي دوم دو
برابرگندم خانه ي اول ودرخانه ي سوم دوبرابرعدد گندم خانه ي دوم به همين ترتيب تاخانه
اخرعده ي گندم هاي هرخانه رامضاعف خانه ي قبل ازان بنمايند ومجموع ان گندم ها را به
من بدهند. پادشاه ابتدابه حقارت اين در خواست برهمن خند يد ولي پس ا ز ا نكه به عظمت
كميت حاصل گندم ها پي برد ديد كه از عهده ي انجام خواهش برهمن برنمي ايد.
ازلحاظ تاريخي درست معلوم نيست كه اين قصه حقيقتي داشته يا نه بلكه قريب به يقين است
كه بعضي ازحكماء ان رابراي گرفتن درس عبرت وضع وجعل كردند ولي ازوقتي كه قضيه
مزبورشايع شده علماي رياضي درصدد پيداكردن مجموع گندم خانه شطرنج به طرزمذكور
درفوق برامده ودرباب ان زحماتي كشيده اند. حاليه كه جداول لگاريتم و دستو رها ي جبري
مدون دردست است حساب اين گونه مسائل اسان وكارمحصلين كلاسهاي متوسطه است ولي
درگذ شته علوم رياضي ترقيا ت عصرمارانداشته وحتي نوشتن معادلات باحروف و علامات
نيزمعمول نبوده است پيداكردن جواب مسائلي نظيرمسئله ي فوق سخت مشكل بود ه است.
مسئله ي فوق چنانكه اشاره شد مبني برحساب حاصل جمع يك تصاعدهندسي است باقدرنسبت
2 واين ايام يافتن جواب ان در چند دقيقه ممكن مي شود.
عشق به حساب
بسياري ازدانشمندان عشق مفرطي به حساب داشته اند. امپردانشمند شهيروعالم معروف فرانسوي در علاقه اي كه به اين قسمت داشته مشهوراست چنان كه گويند قبل ازا ين كه
ارقام را شناخته وقادربه نوشتن انها باشد باسنگ ريزه ولوبيا حسابهاي طولاني مي نمود.
ونيزگويند دركودكي كسالتي عارض وي شده بودوبراي اين كه فكرش راحت باشدمادرش
اوراازلوبياهاي عزيزش جدا ساخته بود. امپر لقمه ي ناني راكه پس ازسه روز گرسنگي
وپرهيزبه وي داده بودند خرد كرده مشغول محاسبا ت خود گرديد.
تهيه كننده : زهره ركني
|
| ||||||
| ||||||
| ||||||
هنر حل مساله :
استراتژی جورج پولیا در حل مساله:
پولیا می گوید : روند حل مساله عبارت است از :" جستجوی راه خروج از دشواری ها یا مسیر عبور از مانع ها " . پولیا مراحل حل مساله را که شامل چهار مرحله است به صورت زیر بیان می کند :
1) فهم مساله
2) تهیه طرح یا نقشه مناسب برای حل مساله
3) اجرای طرح یا نقشه
4) بازنگری
1- فهم مساله : برای حل مساله ابتدا باید صورت مساله را خوب درک کرد . پس اولین وظیفه برای حل یک مساله , فهم درست و کامل یک مساله است . پولیا معتقد است برای حل یک مساله باید موارد زیر به خوبی روشن شود :
الف) چه چیزی را باید پیدا کرد ؟ ( مجهول چیست ؟)
ب) چه چیزی مفروض است ؟( معلومات چیست ؟)
ج) چه رابطه ای بین مجهولات و معلومات موجود است ؟
2- تهیه طرح یا نقشه برای حل مساله : ممکن است برای حل یک مساله چندین راه موجود باشد اما باید به دنبال طرحی بگردیم که ما را مستقیما به هدف برساند . درین راه می توان از مسایل کمکی نیز استفاده کرد .
کهلر آزمایشی انجام داده است به این ترتیب که : میمونی را در اتاقکی قرار می داد و در بیرون اتاقک موزی وجود داشت که دست میمون به آن نمی رسید , جانور با جدیت می کوشید تا به موز بیرون اتاقک دست یابد ولی بی نتیجه بود . در محدوده ای که دست او می رسید قطعه چوبی بود که جانور ظاهرا هیچ توجهی به آن نداشت ناگهان میمون چوب را برداشت و موز را حرکت داد و آن را خورد . حیوان برای برداشتن موز , از مساله ای دیگر که همان برداشتن قطعه چوب است استفاده کرد که به این مساله , " مساله کمکی یا فرعی " می گویند . با حل این مساله , پیدا کردن راه حل مساله هموار می گردد.
2- اجرای طرح یا نقشه : پس از تهیه طرح باید آنرا به اجرا گذاشت . نکته اساسی این است که شخص نظارت کامل بر پیشرفت اجرای طرح داشته باشد تا اگر زمانی احساس کرد که ممکن است او را به حل مساله نرساند بتواند طرح جدیدی را تهیه و اجرا کند .
3- بازنگری : پس از اتمام مرحله اجرا , حل کننده مساله باید یک بازنگری بر تمامی مراحل داشته باشد و جوابها و برهان ها را امتحان کند .
(( اگر می خواهید شنا یاد بگیرید با شجاعت وارد آب شوید و اگر می خواهید مساله ها را یاد بگیرید آنها را حل کنید . ))
جورج پولیا
آیا می دانید چه اعدادی را می توانیم به صورت مجموع اعداد ِ طبیعی متوالی بنویسیم ؟
اگر نمی دانید این مطلب را پی گیرید تا ببینید چه اعدادی را می توانیم به صورت مجموع اعداد طبیعی متوالی بنویسیم.
از عدد 2 تا 40 شروع می کنیم و سعی خواهیم کرد برای هر کدام ، لیستی از اعداد ِ متوالی بیابیم که مجموع آن ها با عدد انتخاب شده برابر باشد.
نکته 1 : نمایش اعداد به صورت مجموع ِ اعدادِ متوالی ، یکتا نیست ؛ مثلا" 30 را به صورت های زیر می توان نمایش داد:
9+8+7+6=11+10+9=30
نکته 2 : یک بازرسی در اعداد بالا نشان می دهد : اعدادی را که به صورت توانی از 2 هستند، نمی توانیم به صورت مجموع اعداد متوالی بنویسیم . ( در پایان این قسمت ، این مطلب را اثبات می کنیم. )
نکته ی 2 حقیقت ِ جالبی است که توقع نمی رفت چنین باشد. همچنین با ساختن یک چنین لیستی از اعداد به صورت مجموع ِ اعداد ِ متوالی ، الگوهایی را مشاهده خواهیم کرد. یکی از این الگوهای واضح در مورد اعداد مثلثی است. n - مین عدد مثلثی ، مجموع n عدد ِ طبیعی نخست متوالی است. مثلا ً
یا این که n - مین مضرب از عدد 3 را که 3n می نامیم، همواره می توانیم به صورت مجموع ِِ n -مین عدد طبیعی و اعداد قبل و بعدش نمایش دهیم. یعنی
با کمی دقت شما نیز می توانید چنین الگو هایی را کشف کنید؛ زیرا که دیدن الگوهای اعداد و روابط بین آن ها یکی از جالب ترین بخش هاست.
اکنون ثابت می کنیم یک عدد را کِی می توانیم به صورت مجموع ِحداقلِ ِ دو عدد طبیعی و متوالی بنویسیم:
اگر a و b دو عدد طبیعی باشند که b از a بزرگتر است ، مجموع عددهای طبیعی متوالی بین a و b چه مقادیری می توانند باشند؟
با استفاده از فرمولِِِِ مجموع ِ یک سری عددی می توان این مقدار را به دست آورد ؛ که این مقدار برابر است با نصف حاصلضرب مجموع کران بالا و کران پایین در تعداد جملات.
بنابر این اگر مجموع اعداد طبیعی متوالی بین a و b را S بنامیم ، از فرمول زیر به دست می آید :
که در این حالت ، a جمله ی پایینی و b جمله ی بالایی و 
تعداد جملات بین a و b است. ( ممکن است این سوء تفاهم پیش آید که با استفاده از قوانین جمع ، می توانیم پرانتزهای بین اعداد در فرمول بالا را حذف کنیم. با حذف این پرانتزها اعداد -1 و +1 و ... با هم ساده می شوند و تنها تعدادی a و تعدادی b باقی می ماند. برای جلوگیری از این گونه موارد بیان می کنیم که منظور از 
، عدد طبیعی ِ بعد از a است و منظور از 
نیز عدد طبیعی قبل از b است و ... . ممکن است در مکانی مثلا ً 
و 
با هم برابر شوند ( m و n عدد طبیعی هستند )، که در این حالت نیز تنها یکی از آن ها را وارد می کنیم. پس در حالت کلی منظور از مجموع بالا ، مجموع اعداد طبیعی بین a و b با احتساب خود a و b است و این اعداد بدون تکرار در نظر گرفته می شوند. ) .
پس
دو طرف تساوی را دو برابر می کنیم :
را x می نامیم و 
را y . چون a و b اعداد طبیعی هستند و 
، x و y نیز اعداد طبیعی اند. از آنجا که 
عددی فرد است ، بنابراین یکی از x و y فرد است و دیگری زوج . ( دقت داریم که فقط مجموع ِ یک عدد فرد و یک عدد زوج ، عددی فرد است. )
اکنون تساوی 2S = xy و وضعیت های x و y ، دو حالت زیر را پیش روی ما قرار می دهد :
حالت اول : S توانی از 2 است :
فرض می کنیم 
. بنا بر این 
یا 
. تنها حالتی ، که یک توان از 2 را می توانیم به صورت حاصلضرب یک عدد فرد در یک عدد زوج بنویسیم ، حالتی است که عدد فرد ، عدد 1 باشد. اگر x=1 باشد ، یعنی :
، در این صورت a , b نمی توانند اعداد طبیعی باشند ، زیرا مجموع هیچ دو عدد طبیعی ، برابر با 1 نیست.
و اگر y برابر با 1 باشد ، یعنی :
، پس باید 
یا به عبارتی a و b با هم برابر باشند که این نیز اتفاق نمی افتد.
بنابراین در این حالت نمی توانیم S را به صورت مجموع ِ اعداد ِ متوالی بنویسیم.
حالت دوم : S توانی از 2 نیست :
فرض می کنیم 
که m عدد فردی بزرگتر از 1 است. در این صورت 
.
در این حالت می توانیم اعداد طبیعی a و b را طوری بیابیم که 
باشد و 
.
دقت داریم که دو عدد 
و m برابر نیستند زیرا m فرد است و زوج . بنابراین یکی از آنها بزرگتر از دیگری است. فرض کنیم x آن عدد ِ بزرگتر و y آن عدد ِ کوچکتر باشد. با این انتخاب جواب ِ a و b مشخص می شود زیرا از رابطه ی 
مقدار b مشخص می شود 
و از رابطه ی 
مقدار a مشخص می شود 
. همچنین 
و بنابر این .
بنابراین ، آن عدد طبیعی را می توانیم با مجموع ِ اعداد ِ طبیعی متوالی نمایش دهیم که توانی از 2 نباشد.
با این مطلب به پایان فصل اول در شگفتی ها و زیبایی های ریاضیات می رسیم.