منطق ریاضى، ترجمه mathematical logic است. از منطق ریاضى دو معنا مستفاد مى شود.

۱- منطق ریاضى به معناى خاص كه در واقع باید ترجمه The logic of mathematic باشد چرا كه ریاضیات مانند هر علم دیگرى از نظمهایى برخوردار است كه این نظمها تحت عنوان منطق مى آید و منطق ریاضى به معناى خاص بررسى ریاضى این نظمها یا قواعد است.

۲- معناى عامى هم براى منطق ریاضى متصور است كه عبارت است از: استفاده از روشها و تكنیكهاى ریاضى براى بررسى منطق. به این معنا كه منطق ریاضى یك علم كاربردى است و در مقوله ریاضیات كاربردى قرار مى گیرد. بین دو معناى عام و خاصى كه مطرح شد یك رابطه واقعى عام و خاص نیز وجود دارد.

كتاب «منطق ریاضى» ، كتابى به معناى خاص منطق ریاضى است. یعنى بررسى منطق متعلق به ریاضیات نه منطق به معناى عام. در واقع باید گفت كه معناى آن اخص است. یعنى كتابى است براى بررسى ریاضیات كلاسیك. شاید این سؤال پیش آید كه ریاضیات كلاسیك چیست؟ و مگر ریاضیات غیر كلاسیك نیز وجود دارد.

آیا ریاضیات علمی منطقی است؟...

ادامه مطلب...

ارسال در تاريخ سه شنبه پانزدهم مرداد 1387 توسط Amir-Yeganeh

معمای آلبرت انیشتین

طراح این معما آلبرت انیشتین بوده و به گفتهً خودش فقط %2 از مردم دنیا می توانند این معما را حل کنند . هیچگونه کلک و حقه ای در این معما وجود ندارد و فقط منطق محض می تواند شما را به جواب برساند. ..

(1) در خیابانی 5 خانه در 5 رنگ متفاوت وجود دارد.
(2) در هر یک از این خانه ها یک نفر با ملیتی متفاوت از دیگران زندگی می کند.
(3) این 5 صاحبخانه هر کدام نوشیدنی متفاوت می نوشند ، سیگار متفاوت می کشند ، و حیوان خانگی متفاوت نگهداری می کنند.

سوال : کدامیک از آنها در خانه، ماهی نگه می دارد؟

راهنمایی:

۱) مرد انگلیسی در خانه قرمز زندگی می کند.
۲) مرد سوئدی، یک سگ دارد.
۳) مرد دانمارکی چای می نوشد.
۴) خانه سبز رنگ در سمت چپ خانه سفید قرار دارد.
۵) صاحبخانه خانه سبز، قهوه می نوشد.
۶) شخصی که سیگار Pall Mall می کشد پرنده پرورش می دهد.
۷) صاحب خانه زرد، سیگار Dunhill می کشد.
۸) مردی که در خانه وسطی زندگی میکند، شیر می نوشد.
۹) مرد نروژی، در اولین خانه زندگی می کند.
۱۰) مردی که سیگار Blends می کشد در کنار مردی که گربه نگه می دارد زندگی می کند.
۱۱) مردی که اسب نگهداری می کند، کنار مردی که سیگار Dunhill می کشد زندگی می کند.
۱۲) مردی که سیگار Blue Master می کشد، آبجو می نوشد.
۱۳) مرد آلمانی سیگار Prince می کشد.
۱۴) مرد نروژی کنار خانه آبی زندگی می کند.
۱۵) مردی که سیگار Blends می کشد همسایه ای دارد که آب می نوشد.

ارسال در تاريخ پنجشنبه بیست و هفتم تیر 1387 توسط Amir-Yeganeh

منطق فازی

مقدمه

دانش مورد نیاز برای بسیاری از مسائل مورد مطالعه به دو صورت متمایز ظاهر می‌شود:

1. دانش عینی مثل مدل‌ها، و معادلات، و فورمول‌های ریاضی که از پیش تنظیم شده و برای حل و فصل مسائل معمولی فیزیک، شیمی، یا مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

2. دانش شخصیمثل دانستنی‌هایی که تا حدودی قابل توصیف و بیان زبانی (linguistic) بوده، ولی، امکان کمی کردن آن‌ها با کمک ریاضیات سنتی معمولا وجود ندارد.

از آن جا که در عمل هر دو نوع دانش مورد نیاز است منطق فازی می‌کوشد آن‌ها را به صورتی منظم، منطقی، و ریاضیاتی بایک دیگر هماهنگ گرداند.

ملاحظات آغازین

منطق فازی از جمله منطق های چند ارزشی بوده، و بر نظریه مجموعه‌های فازی تکیه می کند. مجموعه‌های فازی خود از تعمیم و گسترش مجموعه‌های قطعی به صورتی طبیعی حاصل می‌آیند.

مجموعه‌های قطعی

مجموعه‌های قطعی (Crisp sets) در واقع همان مجموعه‌های عادی و معمولی هستند که در ابتدایی نظریه ابتدایی مجموعه های کلاسیک معرفی می‌شوند. افزودن صفت قطعی به واقع وجه تمایزی را ایجاد می‌نماید که به کمک آن می‌شود یکی از مفاهیم ابتکاری و حیاتی در منطق فازی موسوم به تابع عضویت را به آسانی در ذهن به وجود آورد.

در حالت مجموعه‌های قطعی، تابع عضویت فقط دو مقدار در برد خود دارد:

آری و خیر (یک و صفر) که همان دو مقدار ممکن در منطق دو ارزشی کلاسیک هستند. بنابراین:

$\mathbf{\mu}_A(x) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{if}\ x \in A, \\ 0 &\mbox{if}\ x \notin A. \end{matrix}\right.$

که در اینجا $\mathbf{\mu}_A(x)$ تابع عضویت عنصر $x$ در مجموعه‌ قطعی $A$ است.

مجموعه‌های فازی

مقالهٔ اصلی: مجوعه های فازی

برد تابع عضویت از ${0,1}$ در مورد مجموعه‌های قطعی به بازهٔ بستهٔ $[0,1]$ برای مجموعه‌های فازی تبدیل می شود.

متغیرهای زبانی

مقالهٔ اصلی: متغیر ها ی زبانی

متغیرهای زبانی به متغیرهایی گفته می‌شود که مقادیر مورد قبول برای آن‌ها به جای اعداد، کلمات و جملات زبانهای انسانی یا ماشینی هستند.

به عنوان مثال، فشار را می‌شود متغیری زبانی در نظر گرفت، که مقادیری از قبیل پایین، بالا، ضعیف، متوسط، و قوی را می تواند در خود جای دهد. به زبان ریاضی داریم (T = Terms):

{پایین، بالا، ضعیف، متوسط، قوی} = (فشار)T

توابع عضویت

مقالهٔ اصلی: توابع عضویت

عدم قطعیت

مقالهٔ اصلی: عدم قطعیت

صفت عدم قطعیت، به صور گوناگون، در همهٔ زمینه‌ها و پدیده‌ها صرف نظر از روش شناسی مورد کاربرد جهت مطالعه، طراحی، و کنترل پدیدار می‌شود.

انگیزه‌ها و اهداف

برای مقابله مؤثر با پیچیدگی روزافزون در بررسی، مطالعه، مدل‌سازی، و حل مسائل جدید در فیزیک، مهندسی، پزشکی، زیست شناسی، و بسیاری از امور گوناگون دیگر ایجاد و ابداع روشهای محاسباتی جدیدی مورد نیاز شده است که بیشتر از پیش به شیوه‌های تفکر و تعلم خود انسان نزدیک باشد. هدف اصلی آنست که تا حد امکان، رایانه‌ها بتوانند مسائل و مشکلات بسیار پیچیده علمی را با همان سهولت و شیوایی بررسی و حل و فصل کنند که ذهن انسان قادر به ادراک و اخذ تصمیمات سریع و مناسب است.

در جهان واقعیات، بسیاری از مفاهیم را آدمی به صورت فازی (fuzzy به معنای غیر دقیق، ناواضح، و مبهم) درک می‌کند و به کار می‌بندد. به عنوان نمونه، هر چند کلمات و مفاهیمی همچون گرم، سرد، بلند، کوتاه، پیر، جوان، و نظائر اینها به عدد خاص و دقیقی اشاره ندارند، ذهن انسان با سرعت و با انعطاف پذیری شگفت‌آوری همه را می‌فهمد و در تصمیمات و نتیجه گیریهای خود به حساب می‌گیرد. این، در حالی ست که ماشین فقط اعداد را میفهمد و اهل دقّت است. اهداف شیوه‌های نو در علوم کامپیوتر آن است که اولا رمز و راز اینگونه تواناییها را از انسان بیاموزد و سپس آنها را تا حد امکان به ماشین یاد بدهد.

قوانین علمی گذشته در فیزیک و مکانیک نیوتونی همه بر اساس منطق قدیم استوار گردیده‌اند. در منطق قدیم فقط دو حالت داریم: سفید و سیاه، آری و خیر، روشن و تاریک، یک و صفر، و درست و غلط.

از آن جا که ذهن ما با منطق دیگری کارهایش را انجام می‌دهد و تصمیماتش را اتّخاذ می‌کند، جهت شروع، ایجاد و ابداع منطق‌های تازه و چندارزشی مورد نیاز است که منطق فازی یکی از آنها می‌باشد.

جستارهای وابسته

منابع

Zadeh L.A., 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. Mendel, J. M., Uncertain Rule-Based Fuzzy Logic Systems: Introduction and New Directions, Prentice Hall PTR, ۲۰۰۱. ISBN: ۰-۱۳-۰۴۰۹۶۹-۳
Kasabov, N. K., Foundations of Neural Networks, Fuzzy Systems, and Knowledge Engineering, The MIT Press 1998. ISBN: 0-262-11212-4

ارسال در تاريخ شنبه پانزدهم تیر 1387 توسط Amir-Yeganeh

منطق

مَنطِق را عموماً بررسیِ استدلال‌ها می‌دانند. گرچه در تعریفِ دقیقِ منطق بینِ فیلسوفان و منطق‌دانان بحث است ولی در هر حال کاربردِ منطق در تشخیصِ استدلالِ درست از استدلالِ نادرست و مغالطه است.

در گذشته منطق صرفاْ شاخه‌ای از فلسفه شمرده می‌شد ولی از میانهٔ سال‌هایِ ۱۸۰۰ در ریاضیات و در دهه‌هایِ اخیر در علمِ رایانه نیز به آن می‌پردازند.

تعاریف و تعابیرِ ممکن از منطق

یک تعبیرِ ممکن از منطق روشِ درست فکر کردن است. این تعبیر نمی‌تواند این مشاهده را بخوبی تبیین کند که افرادی که منطق می‌دانند باز هم کماکان در برخی استدلال‌ها دچارِ اشتباه می‌شوند و افرادی که منطق نمی‌دانند نیز می‌توانند استدلال‌هایِ درست انجام داده و بعضاً آن‌ها را از نادرست تشخیص دهند. البته می‌توان از این تعبیر بدین ترتیب دفاع نمود که منطق‌دانان بسیار کم‌تر از افرادِ عادی در استدلال‌ها اشتباه می‌کنند.

یک تعبیرِ کم‌تر روان‌شناسانه از منطق این است که منطق علمِ مطالعهٔ ساختارهایِ زبانیِ زبان‌هایِ طبیعی است. البته این تعبیر نیز مشکلاتِ خود را دارد. منطق یکی از علومِ طبیعی و تجربی مثلِ فیزیک نیست. گزاره‌هایِ منطق ضروری به نظر می‌آیند و توصیفی از وضعِ ممکنات ارایه نمی‌کنند. جنسِ گزاره‌ای مانندِ «اجتماعِ نقیضین محال است» شبیه به گزاره‌ای مانندِ «سرعتِ نور برابر با مقدارِ ثابتِ c است» به نظر نمی‌رسد.

تعبیر دیگری، منطق را خطاسنج اندیشه می‌نامد. منطق چارچوبهای خاصی را کشف و معرفی نموده‌است که اندیشه در آن قالبها از خطا و بیراهه رفتن مصون می‌ماند.^[۱]

تاریخچه

نخستین کاشف صریح و ثبت‌شدهٔ منطق صوری (formal logic) در تاریخ، ارسطو فیلسوف مشهورِ یونانی است. نوشته‌هایِ ارسطو دربارهٔ منطق در دوره بیزانسی بصورت مجموعه‌ای واحد تدوین و به نامِ ارگانون^[۲] (ارغنون) گردآوری شد. این مجموعه شامل شش بخش است بنام‌های: «مقولات»، «عبارت(قضایا)»، «قیاس»، «برهان»، «جدل» و «مغالطه». بعدها برخی از شارحین ارسطو، دو رساله «شعر» و «خطابه» را به ارگانون افزودند. «ایساغوجی»^[۳] رساله دیگری است که با اقتباس از دو رساله برهان و جدل بعنوان مدخلی برای منطق ارسطو در نظر گرفته شد.^[۱] بدین ترتیب آنچه بدست حکیمان مسلمان رسید، منطق نُه بخشی ارسطو بود و شفای ابن سینا نیز شرحی بر همین منطق است. ^[۴] البته این نوشته‌ها امروزه شاملِ منطق و فلسفهٔ منطق و برخی بحث‌هایِ دیگر در حاشیهٔ منطق محسوب می‌شوند. آن‌چه ما امروزه به نامِ منطقِ صوری می‌شناسیم در کتابِ آنالوطیقایِ (analytic) اول دیده می‌شود.

در قرنِ هجدهم فیلسوفِ مشهورِ آلمانی ایمانوئل کانت ادعا نمود که منطق دیگر به پایان رسیده‌است و نیازی به چیزی بیش‌تر از منطقِ ارسطویی وجود ندارد. بااین‌حال در اواخرِ قرنِ نوزدهم انفجاری در علمِ منطق روی داد و حجمِ انبوهی از مطالعات به آن افزوده شد. این پیشرفت‌ها با کارهایِ ریاضیدان و فیلسوفِ آلمانی فرگه و شاگردِ انگلیسیِ وی راسل آغاز گردید. پس از آن‌ها نیاز به کارهایِ دیگری در زمینهٔ منطق احساس شد که در ابتدا عجیب یا غیرِضروری می‌رسید: انواعِ تازه‌ای از منطق مانندِ منطقِ ربط، منطقِ زمان، منطقِ موجهات، و منطق‌هایِ چند ارزشی که در اثرِ این احساس پدید آمدند که منطقِ فرگه و راسل برایِ برخی اهداف یا نیازها کافی نیستند.

منطقِ صوری چیست؟

کشفِ اساسیِ ارسطو این بود که درستی و نادرستیِ استدلال‌هایی که ما در زبانِ طبیعی انجام می‌دهیم نه به محتوایِ آن‌ها بلکه به صورت (= form)،تصور یا قالبِ آن‌ها بستگی دارد. به دلیلِ همین بستگی به صورت است که این منطق را «صوری» (formal) می‌نامند. این کشفِ بسیار مهمی محسوب می‌شود، هرچند که شاید پس از حل گشتن معمایی آسان به نظر رسد. هنگامی که استدلالِ زیر را انجام می‌دهیم:

همهٔ انسان‌ها فانی اند.

سقراط انسان است.

نتیجه: سقراط فانی است.

به دو جملهٔ اول «مقدماتِ» استدلال (در سنتِ ایرانی کُبرا و صُغرا) و به جملهٔ آخر نتیجه می‌گویند. بعلاوه به «سقراط» در مقدمهٔ دوم «موضوع» گفته می‌شود و به «انسان» در همان جمله «محمول» اطلاق می‌گردد.

درستی استدلال بالا ربطی به این امر ندارد که دربارهٔ انسان، سقراط یا فانی بودن صحبت می‌کند. بلکه فقط و فقط به این دلیل است که چینشِ کلمات بنحوِ خاصی صورت گرفته‌است:

همهٔ Aها B هستند.

a یک A است.

نتیجه: a یک B است.

هر استدلالی که واژه‌هایِ آن همین صورت یا فورم را داشته باشند یک استدلالِ معتبر است. این نتیجهٔ جالب انسان را به فکر می‌اندازد که شاید بتوان همهٔ صورِ معتبر و نامعتبرِ استدلال را کشف و دسته‌بندی نمود. ارسطو نیز به همین فکر افتاد. او استدلال‌هایِ سالم و عقیم (یا مغالطه) را یافت و دسته‌بندی نمود. بعدها نشان داده شد که می‌توان برخی از انواعِ استدلال را به انواعِ دیگر تبدیل نمود و در نتیجه تعدادِ آن‌ها را کاهش داد. این که چرا ما انسان‌ها برخی از صورِِ استدلال را می‌پذیریم درحالی که برخی دیگر را نامعتبر می‌شماریم پرسشی است که هرگز به آن پاسخ داده نشده‌است.

قرنِ بیستم

فرگه از نقطهٔ دیگری کار را آغاز نمود. ‍پیش از او این امر شناخته شده بود که با منطقِ ارسطویی برخی از استدلال‌ها را نمی‌توان صورت‌بندی نمود. بااین‌حال این استدلال‌ها درست هستند. به نمونهٔ زیر توجه کنید:

یا علی برادرِ رضا است یا حسن برادرِ رضا است.

علی برادرِ رضا نیست.

نتیجه: حسن برادرِ رضا است.

این استدلال را نمی‌توان به اشکالِ Aها B هستند و غیره درآورد. از قدیم تلاش‌هایی برایِ این کار انجام شده و به شکست منجر گردیده بود. فرگه منطق را از این قبیل صورت‌ها آغاز نمود. او نمادهایی مانندِ P و Q و غیره را به عنوانِ جانشینِ گزاره‌ها (p اولِ proposition به معنیِ گزاره‌است) و علایمی دیگر را به عنوانِ رابطِ جملات به کار برد. اگر P و Q گزاره باشند P~ خوانده می‌شود «نقیضِ P» و P→Q خوانده می‌شود «اگر P آنگاه Q». منطقِ فرگه و راسل قادر است به بررسیِ روابطِ بینِ گزاره‌ها و استدلال‌هایی که به دلیلِ چینشِ این روابط معتبر اند بپردازد. به همین دلیل آن را حسابِ گزاره‌ها یا منطقِ جملات می‌نامند. در مقابل به آن‌چه با منطقِ ارسطویی آغاز گردید منطقِ محمولات گفته می‌شود (زیرا گزاره‌ها را به موضوع و محمول تقسیم می‌کند).

پانویس

↑ ^۱٫۰ ^۱٫۱ منطق(۱)؛ احد فرامرزقراملکی؛ انتشارات دانشگاه پیام نور
↑ Organon
↑ Isagoge
↑ اگرچه بوعلی در اشارات خود تحولی در منطق ارسطویی پدید آورد و منطق دوبخشی را مطرح کرد: «منطق تعریف» و «منطق استدلال»

ارسال در تاريخ شنبه پانزدهم تیر 1387 توسط Amir-Yeganeh

منطق

تعریف منطق

فکر انسان پیوسته در معرض خطا و لغزش است و ممکن است در مسیر تفکر و استدلال و استنتاج که پایه فلسفه و همه علوم بر این اعمال ذهنی آدمی است، به اشتباه بیفتد.
پس انسان، برای کشف حقیقت و مصون ماندن از خطای درتفکر، نیازمند و محتاج به یک سلسله اصول و قواعد عام و فراگیر است که او را در همه جا راهنمایی کند و مانع از گمراهی وی در تفکر گردد.
مجموع این اصول و قواعد، منطق (logic) نام دارد .

منطق در لغت به معنی کلام و گفتار است.
اما در تعریف مصطلح فلاسفه و منطق دانان، منطق به معنی قانون صحیح فکر کردن است و راه و روش صحیح فکر کردن و درست اندیشیدن و نتیجه گیری کردن را می آموزد.
به همین دلیل است که این علم، منطق نامیده می شود؛ زیرا از واژه نطق مشتق شده که به معنی سخن گفتن، ادراک کلیات و نفس ناطقه انسانی اطلاق می شود.
به سخن دیگر، قواعد و قوانین منطقی به منزله یک مقیاس و معیار و ابزاری برای سنجش است که هر گاه بخواهیم درباره موضوعی؛ اعم از علمی، فلسفی و یا حتی امور روزمره زندگی، تفکر و استدلال کنیم، باید استدلال ها و استنتاج های خود را با این مقیاس و معیار بسنجیم و ارزیابی کنیم تا به طور غلط نتیجه گیری نکنیم.

منطق یک ابزار است.

منطق در شمار علوم آلی یا ابزاری است. علوم آلی و ابزاری، به آن دسته از دانش ها گفته می شود که در خدمت علم یا علوم دیگر بوده و اساسا برای همین مقصود به وجود آمده اند.
مثلا علم جبر یک علم ابزاری است؛ زیرا خود این علم به تنهایی فایده ای ندارد؛ بلکه هنگامی که در خدمت ریاضیات درآمده و شیوه ها و قالب های حل معادلات ریاضیاتی را بیان می کند، کار ساز می شود.

منطق نیز یک علم آلی و ابزاری است؛ زیرا عهده دار بیان راه های صحیحی است که فکر و اندیشه بر طبق آن، بر حقایق نامعلوم دست می یابد و اگر علم و فلسفه و تفکر انسانی نباشد، این علم نیز خود به خود منتفی می گردد.
این علم بیش از هر علم دیگری، در خدمت فلسفه است و اساسا اولین قواعد منطقی توسط فلاسفه کشف و تدوین شد.
بر این اساس، منطق را این گونه تعریف می کنند:

منطق، ابزاری است از نوع قاعده و قانون که مراعات کردن و به کار بردن آن، ذهن را از خطای در تفکر مصون نگه می دارد.

مصنف و مدون منطق

نخستین کسی که قواعد ذهن آدمی را به دست آورد و با ترتیبی خاص و منظم، مدون ساخت و بسیاری از قوانین آن را خصوصا در مبحث قیاس، با دقت اعجاب انگیز و ابتکار خویش استخراج کرد، ارسطو است.

باید به یک نکته مهم توجه داشت و آن این که درست نیست ارسطو را موسس و سازنده یا خالق منطق بخوانیم؛ زیرا منطق، قواعد ذهن انسانی است که همه انسان ها بر اساس این قواعد، فکر و استدلال می کنند و زندگی خود را بر پایه آن ها بنا نهاده اند.
به عبارت دیگر، منطق همانند قواعد و قوانین طبیعی است که در تمامی اشیا و جانداران، برقرار است و دانشمندان، می کوشند تا این قوانین را به دست آوردند. ا

ارسطو تنها کاری که کرد، این بود که این قواعد را با جهد و کوشش فکری بسیار، استخراج کرد و آن ها را منظم و مدون ساخت.
شاهد این امر، این که خود وی این دانش را تحلیل نامید؛ یعنی چیزی وجود داشته و سپس او به تجزیه و تحلیل آن پرداخته است.

عنوان منطق را اولین بار، شارحان آثار ارسطو به این فن اطلاق کردند و بعد از اسکندر افرودیسی، استعمال لفظ منطق برای این علم، عمومیت یافت.
متفکران مسلمان، برای منطق، ارزش و اعتبار بالایی قائل بودند و گاهی آن را منطق و گاهی میزان می نامیدند.
چنانکه در نظر فارابی، این علم در راس تمام علوم جای دارد؛ زیرا احکام و قوانین منطقی در تمام علوم و رشته ها جاری و برقرار است.

و در نظر غزالی، منطق، معیار است برای هر علمی و نزد برخی دیگر از فلاسفه، منطق، هنر اندیشیدن است.
برای اطلاعات بیشتر بنگرید به: